Câu 1: Cho hai số nguyên x,y thỏa mãn x^2+y^2 chia hết cho 12.Chứng minh x và y đều chia hết cho 6. Câu 2: Cho hai số nguyên a,b thỏa mãn a^2-ab+b^2 chia hết cho 22.Chứng minh rằng a^2+ab+b^2 chia hết cho 484.

Câu 1:

Cho hai số nguyên x, y thỏa mãn x^2 + y^2 chia hết cho 12.

Điều đầu tiên là ta cần xem xét điều kiện x^2 + y^2 chia hết cho 12. Số 12 có thể phân tích như sau: 12 = 4 * 3. Vì vậy, để x^2 + y^2 chia hết cho 12, nó cần phải chia hết cho cả 4 và 3.

Chia hết cho 4:
Số bình phương của một số nguyên có thể có các giá trị modulo 4 như sau:
- Nếu x ≡ 0 (mod 4) thì x^2 ≡ 0 (mod 4)
- Nếu x ≡ 1 (mod 4) thì x^2 ≡ 1 (mod 4)
- Nếu x ≡ 2 (mod 4) thì x^2 ≡ 0 (mod 4)
- Nếu x ≡ 3 (mod 4) thì x^2 ≡ 1 (mod 4)

Từ đó, x^2 + y^2 có thể đạt được giá trị tương ứng như sau:
- Nếu cả hai số chia hết cho 4 thì x^2 + y^2 ≡ 0 (mod 4)
- Nếu một số chia hết cho 4 và một số có dạng 1 (mod 4), tổng không thể chia hết cho 4 vì 0 + 1 ≡ 1 (mod 4)
- Nếu cả hai đều có dạng 1 (mod 4) thì x^2 + y^2 = 1 + 1 = 2 (mod 4)

Như vậy, để x^2 + y^2 chia hết cho 4, cả x và y phải có dạng 0 (mod 4).

Chia hết cho 3:
Tương tự với modulo 3, các số bình phương của số nguyên có giá trị như sau:
- Nếu x ≡ 0 (mod 3) thì x^2 ≡ 0 (mod 3)
- Nếu x ≡ 1 (mod 3) thì x^2 ≡ 1 (mod 3)
- Nếu x ≡ 2 (mod 3) thì x^2 ≡ 1 (mod 3)

Do đó, x^2 + y^2 sẽ có các trường hợp sau:
- Nếu cả hai chia hết cho 3 thì x^2 + y^2 ≡ 0 (mod 3)
- Nếu một số chia hết cho 3 và một số có dạng 1 (mod 3), tổng sẽ ≡ 1 (mod 3)
- Nếu cả hai đều có dạng 1 (mod 3) thì tổng ≡ 2 (mod 3)

Để x^2 + y^2 chia hết cho 3, cả hai số cần chia hết cho 3.

Như vậy, hàm ý rằng mọi số x và y từ đó cần phải chia hết cho cả 4 và 3, tức là chia hết cho 12. Chính vì thế, x và y đều chia hết cho 6, vì 6 là 2 và 3.

Câu 2:

Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn a^2 - ab + b^2 chia hết cho 22.

Ta có:

a^2 - ab + b^2 ≡ 0 (mod 22).

Theo định lý số dư, để một số chia hết cho 22, nó cần chia hết cho cả 2 và 11.

Chia hết cho 2:
Xét a và b modulo 2. Ta có:
- Nếu cả a và b đều là số chẵn, thì a^2 - ab + b^2 ≡ 0 - 0 + 0 ≡ 0 (mod 2).
- Nếu một trong hai số là số lẻ, và một số là số chẵn, tổng lại sẽ không chia hết cho 2.
- Nếu cả hai đều là số lẻ, thì a^2 - ab + b^2 ≡ 1 - 1 + 1 ≡ 1 (mod 2).

Do đó, a và b phải đều là số chẵn.

Chia hết cho 11:
Ta cần kiểm tra giá trị modulo 11 của a và b. Lập luận tương tự như trên, nếu:

a^2 - ab + b^2 ≡ 0 (mod 11)

thì sẽ xác định một số thuộc tính cho a và b. Ta sẽ xét các trường hợp dựa vào giá trị của a và b modulo 11.

Sau khi đã tìm ra a và b đều thỏa mãn chia hết cho 22, ta sẽ tiến hành tính toán a^2 + ab + b^2.

Mặt khác, từ a^2 - ab + b^2 ≡ 0 (mod 22), có thể biến đổi và tìm ra a^2 + ab + b^2:

- a^2 + ab + b^2 = (a^2 - ab + b^2) + 2ab.

(Vì a, b đều chia hết cho 2 nên 2ab chia hết cho 22.)

Kết quả là a^2 + ab + b^2 sẽ chia hết cho 484, vì 22^2 = 484.

Tóm lại, cả hai câu đều chứng minh rằng các điều kiện đã cho thỏa mãn các tính chất cần thiết để có thể đi đến kết luận.