Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A (x) = $4^{2}$ + 8x +15 b)B (y)= $(y + 1)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ +$(y-3)^{2}$ -$(y+4 )^{2}$ c) C (z) =  $(z+2)^{3}$ - (z - 2 ). ($z^{2}$ +2z + 4 )

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = 4² + 8x + 15, đầu tiên ta tính giá trị của 4²:

4² = 16, do đó biểu thức trở thành:
A(x) = 16 + 8x + 15 = 8x + 31.

Đây là một hàm bậc nhất có hệ số x dương (8), nghĩa là hàm này không có điểm cực tiểu mà sẽ tăng vô hạn khi x tăng. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của A(x) xảy ra khi x có giá trị nhỏ nhất có thể (nghĩa là không giới hạn), và do đó:

Giá trị nhỏ nhất của A(x) không xác định vì nó có thể giảm đến vô cùng âm khi x giảm xuống vô hạn.

b) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B(y) = (y + 1)² + (y - 2)² + (y - 3)² - (y + 4)², ta thực hiện các tính toán và tổ hợp các bình phương:

B(y) = (y² + 2y + 1) + (y² - 4y + 4) + (y² - 6y + 9) - (y² + 8y + 16).

Kết hợp các hạng tử:
= y² + 2y + 1 + y² - 4y + 4 + y² - 6y + 9 - y² - 8y - 16
= 2y² - 16y - 2.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên, ta có thể tính đạo hàm và tìm nghiệm:
B'(y) = 4y - 16.
Giải phương trình 4y - 16 = 0 thì y = 4.

Thay y = 4 vào biểu thức B(y):
B(4) = 2(4)² - 16(4) - 2 = 32 - 64 - 2 = -34.

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của B(y) là -34.

c) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C(z) = (z + 2)³ - (z - 2)(z² + 2z + 4), ta trước hết cần khai triển các hạng tử.

Khai triển:
C(z) = (z + 2)³ - (z - 2)(z² + 2z + 4)
= z³ + 6z² + 12z + 8 - (z³ + 2z² + 4z - 2z² - 4z - 8)
= z³ + 6z² + 12z + 8 - (z³ + 8).
Tất cả các hạng tử z³ sẽ bị triệt tiêu:
C(z) = 6z² + 12z + 8 - 8
= 6z² + 12z.

C(z) = 6(z² + 2z).

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể viết thành dạng hoàn thành bình phương:
C(z) = 6[(z + 1)² - 1] = 6(z + 1)² - 6.

Giá trị nhỏ nhất của C(z) xảy ra khi z + 1 = 0 (hoặc z = -1), lúc đó:
C(-1) = 6(0) - 6 = -6.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C(z) là -6.