. Trong không gian véctơ R³, chứng minh rằng hệ véctơ {U1, U2, U3} với U₁ = (1;2;-1), 42 = (2; 1; 0), 43 = (-1; 2; 3) là cơ sở của R³ và xác định tọa độ của véctơ u = (-2;-3; 6) trong cơ sở đó.

Để chứng minh rằng hệ véctơ {U₁, U₂, U₃} là cơ sở của không gian R³, ta cần chứng minh rằng ba véctơ này độc lập tuyến tính và span (đổ đầy) R³.

### Bước 1: Kiểm tra tính độc lập tuyến tính

Véctơ U₁, U₂, U₃ được cho như sau:
- U₁ = (1, 2, -1)
- U₂ = (2, 1, 0)
- U₃ = (-1, 2, 3)

Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính, ta xây dựng ma trận với các cột là các véctơ U₁, U₂, U₃:

A = | 1 2 -1 |
| 2 1 2 |
| -1 0 3 |

Tiếp theo, ta tính định thức của ma trận A để xem liệu nó có khác không. Nếu định thức khác 0, các véctơ là độc lập tuyến tính.

Tính định thức:

det(A) = 1(1 3 - 2 0) - 2(2 3 - (-1) 0) + (-1)(2 0 - (-1) 2)
= 1(3) - 2(6) + 2
= 3 - 12 + 2
= -7

Vì det(A) ≠ 0, nên các véctơ U₁, U₂, U₃ là độc lập tuyến tính.

### Bước 2: Kiểm tra đổ đầy R³

Vì ba véctơ độc lập tuyến tính trong không gian R³ (có chiều 3), nên chúng cũng đổ đầy R³. Do đó, {U₁, U₂, U₃} là một cơ sở của R³.

### Bước 3: Tìm tọa độ của véctơ u = (-2, -3, 6) trong cơ sở {U₁, U₂, U₃}

Để tìm tọa độ của véctơ u trong cơ sở {U₁, U₂, U₃}, ta tìm số vô hướng a, b, c sao cho:

u = a U₁ + b U₂ + c * U₃

Tức là tìm a, b, c trong phương trình:

(-2, -3, 6) = a(1, 2, -1) + b(2, 1, 0) + c(-1, 2, 3)

Từ đây, ta có hệ phương trình:

1. a + 2b - c = -2
2. 2a + b + 2c = -3
3. -a + 3c = 6

Giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp ma trận.

Bắt đầu với phương trình 3, từ đó ta tính:

-a + 3c = 6 => a = 3c - 6.

Thay vào phương trình 1:

(3c - 6) + 2b - c = -2,
=> 2b + 2c - 6 = -2,
=> 2b + 2c = 4,
=> b + c = 2. (1)

Thay vào phương trình 2:

2(3c - 6) + b + 2c = -3,
=> 6c - 12 + b + 2c = -3,
=> b + 8c = 9. (2)

Giải hệ (1) và (2):

Từ (1): b = 2 - c.
Thay b vào (2):

(2 - c) + 8c = 9,
=> 2 + 7c = 9,
=> 7c = 7,
=> c = 1.

Thay c vào (1):

b + 1 = 2,
=> b = 1.

Thay b và c vào a:

a = 3(1) - 6 = -3.

### Kết quả

Do đó, tọa độ của véctơ u trong cơ sở {U₁, U₂, U₃} là:

(u₁, u₂, u₃) = (-3, 1, 1).