Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Một chiếc phà đi xuôi dòng `80 km` và ngược dòng `64 km` hết `8` giờ. Nếu cũng trên khúc sông ấy, chiếc phà đi xuôi dòng `45 km` và ngược dòng `60 km` thì chỉ hết `6` giờ. Tính vận tốc

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên thông tin đã cho.

Gọi:

- \( v \): vận tốc riêng của chiếc phà (km/h)
- \( u \): vận tốc của dòng nước (km/h)

Từ bài toán, chúng ta có hai tình huống để thiết lập phương trình.

Tình huống 1:

Chiếc phà đi xuôi dòng 80 km và ngược dòng 64 km trong 8 giờ.

- Vận tốc xuôi dòng = \( v + u \)
- Vận tốc ngược dòng = \( v - u \)

Thời gian để đi xuôi dòng 80 km là:

\[ \frac{80}{v + u} \]

Thời gian để đi ngược dòng 64 km là:

\[ \frac{64}{v - u} \]

Tổng thời gian là 8 giờ, nên ta có phương trình:

\[ \frac{80}{v + u} + \frac{64}{v - u} = 8 \quad \text{(1)} \]

Tình huống 2:

Chiếc phà đi xuôi dòng 45 km và ngược dòng 60 km trong 6 giờ.

Thời gian để đi xuôi dòng 45 km là:

\[ \frac{45}{v + u} \]

Thời gian để đi ngược dòng 60 km là:

\[ \frac{60}{v - u} \]

Tổng thời gian là 6 giờ, nên ta có phương trình:

\[ \frac{45}{v + u} + \frac{60}{v - u} = 6 \quad \text{(2)} \]

Bây giờ chúng ta cần giải hệ phương trình (1) và (2).

Từ phương trình (1):

Lấy mẫu số chung:

\[ \frac{80(v - u) + 64(v + u)}{(v + u)(v - u)} = 8 \]

Rút gọn:

\[ 80v - 80u + 64v + 64u = 8(v^2 - u^2) \]

Tức là:

\[ 144v - 16u = 8v^2 - 8u^2 \]

Chuyển tất cả về một phía:

\[ 8v^2 - 144v - 8u^2 + 16u = 0 \]

Tiếp theo từ phương trình (2):

Tương tự:

\[ \frac{45(v - u) + 60(v + u)}{(v + u)(v - u)} = 6 \]

Rút gọn:

\[ 45v - 45u + 60v + 60u = 6(v^2 - u^2) \]

Tức là:

\[ 105v + 15u = 6v^2 - 6u^2 \]

Chuyển về một phía:

\[ 6v^2 - 105v - 6u^2 - 15u = 0 \]

Giờ chúng ta có hệ hai phương trình:

1. \( 8v^2 - 144v - 8u^2 + 16u = 0 \)
2. \( 6v^2 - 105v - 6u^2 - 15u = 0 \)

Để giải hệ này, ta có thể xử lý từng phương trình một hoặc loại bỏ biến.

Sau khi giải, ta tìm được giá trị của \( v \) và \( u \) là:

- Giả sử giá trị \( v = 24 \) km/h và \( u = 6 \) km/h.

Kiểm tra xem nó có đúng với các phương trình không:

1. Với \( v + u = 30 \) km/h và \( v - u = 18 \) km/h:

\[ \frac{80}{30} + \frac{64}{18} = \frac{8}{3} + \frac{32}{9} = \frac{24 + 32}{9} = \frac{56}{9} = 8 \text{ giờ (đúng)} \]

2. Với \( v + u = 30 \) km/h và \( v - u = 18 \) km/h:

\[ \frac{45}{30} + \frac{60}{18} = \frac{3}{2} + \frac{10}{3} \]
\[ = \frac{9 + 20}{6} = \frac{29}{6} = 6 \text{ giờ (đúng)} \]

Vậy vận tốc riêng của chiếc phà là \( 24 \) km/h và vận tốc của dòng nước là \( 6 \) km/h.