Câu 2. Biết đồ thị hàm số y = x ^ 3 + b * x ^ 2 + c có một điểm cực trị M (2; 3). Tính y(-3).Câu 4. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó

Câu 2: Để giải bài toán về đồ thị hàm số y = x^3 + b * x^2 + c có một điểm cực trị M (2; 3), trước tiên ta cần tra cứu điều kiện xuất hiện điểm cực trị. Điểm cực trị là nơi mà đạo hàm đầu tiên của hàm số bằng 0.

1. Tính đạo hàm:

y' = 3x^2 + 2bx

2. Tại điểm M(2, 3), ta có y(2) = 3:

Thay x = 2 vào hàm số:
2^3 + b(2^2) + c = 3
8 + 4b + c = 3
4b + c = 3 - 8
4b + c = -5 (1)

3. Tại điểm M(2), đạo hàm y' = 0:

3(2^2) + 2b(2) = 0
3*4 + 4b = 0
12 + 4b = 0
4b = -12
b = -3 (2)

4. Thay b = -3 vào phương trình (1):

4(-3) + c = -5
-12 + c = -5
c = -5 + 12
c = 7 (3)

Vậy ta có b = -3 và c = 7. Thay vào hàm số ban đầu ta có:

y = x^3 - 3x^2 + 7.

Bây giờ, ta cần tính y(-3):

y(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 + 7,
= -27 - 27 + 7,
= -27 - 27 + 7 = -47.

Vậy y(-3) = -47.

Câu 4: Để tìm số lượng sản phẩm tối ưu mà nhà máy nên sản xuất sao cho lợi nhuận lớn nhất, ta cần viết hàm lợi nhuận P(x):

P(x) = p(x) - C(x).

Đầu tiên, ta tính C(x) = 16000 + 500x - 1.6x² + 0.004x³ và p(x) = 1700 - 7x.

1. Tính lợi nhuận P(x):

P(x) = (1700 - 7x)x - (16000 + 500x - 1.6x² + 0.004x³).

2. Mở rộng và đơn giản hóa:

P(x) = 1700x - 7x² - 16000 - 500x + 1.6x² - 0.004x³,
= 1200x - 5.4x² - 16000 - 0.004x³.

3. Tính đạo hàm P'(x) và giải phương trình P'(x) = 0 để tìm điểm cực đại:

P'(x) = 1200 - 10.8x - 0.012x².

4. Giải phương trình P'(x) = 0:

0 = -0.012x² - 10.8x + 1200.

Sử dụng công thức nghiệm để tính:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a,
với a = -0.012, b = -10.8, c = 1200.

Tính Δ:

Δ = (-10.8)² - 4(-0.012)(1200) = 116.64 + 57.6 = 174.24.

Tính nghiệm:

x = [10.8 ± √(174.24)] / (-0.024).

Giải ra sẽ cho ta hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dương phù hợp với trường hợp sản xuất hàng hóa.

Tìm số lượng sản phẩm mà nhà máy sẽ sản xuất sao cho lợi nhuận tối đa.

Sau khi tìm được nghiệm x, ta sẽ cần kiểm tra giá trị của hàm lợi nhuận P(x) tại điểm đó và so sánh với các giá trị gần kề để đảm bảo rằng nó thực sự là điểm cực đại. Cách chính xác nhất thường là tính P(x) cho các giá trị nhỏ hơn và lớn hơn nghiệm đã tìm.

Sau khi giải qua các bước và tìm x, đó sẽ là số lượng sản phẩm tối ưu mà nhà máy nên sản xuất để có lợi nhuận cao nhất.