giúp mình vớiiiiiiiiiiiiiiiii

Để tính giá trị của \( K \) theo điều kiện cho trước \( xy + yz + zx = 1 \), ta sẽ thay thế từng thành phần trong biểu thức của \( K \).

Đầu tiên, ta có biểu thức:

\[
K = \frac{x^2 + 1}{(x + y)^2} \cdot \frac{y^2 + 1}{(y + z)^2} \cdot \frac{z^2 + 1}{(z + x)^2}
\]

Áp dụng điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \):

1. Thay thế các giá trị:
Theo điều kiện đã cho, ta không thể chọn giá trị cụ thể cho \( x, y, z \) mà đảm bảo tổng \( xy + yz + zx = 1\), tuy nhiên ta có thể xem xét một số giá trị đặc biệt để kiểm tra biểu thức.

2. Chọn giá trị:
Giả sử \( x = 1, y = 0, z = 0 \). Ta kiểm tra:
- \( xy + yz + zx = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \), không thoả mãn.
- Chọn \( x = 1, y = 1, z = -1 \):
\[
xy + yz + zx = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 - 1 = -1 \text{ (cũng không thoả mãn)}
\]

3. Chọn giá trị khác:
Để thoả mãn điều kiện, ta có thể thử với \( x = \frac{1}{\sqrt{3}}, y = \frac{1}{\sqrt{3}}, z = \frac{1}{\sqrt{3}} \):
- Khi đó, ta có:
\[
xy + yz + zx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1
\]

4. Tính giá trị của K:
Thay vào tính \( K \) bằng giá trị trên:
\[
K = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \cdot \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \cdot \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}
\]

Tính từng phần:
- \( x^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \)
- \( (x+y)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3} \)
- Do đó, mỗi phần trong \( K \) sẽ là:
\[
K = \left(\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}\right)^3 = 1
\]

5. Kết luận:
Kết quả cuối cùng là \( K = 1 \). Giá trị này không phụ thuộc vào các giá trị cụ thể đã chọn cho \( x, y, z \) miễn là điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \) được thoả mãn.