Cho pt x^2 - 2(m+1)x+m^2-3m+5=0 (m là tham số). tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt. thỏa mãn

Để phương trình bậc hai x^2 - 2(m+1)x + (m^2 - 3m + 5) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt, chúng ta sẽ xét 2 điều kiện cần và đủ:

1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Điều này tương đương với việc delta của phương trình phải dương.

Công thức delta (Δ) của phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 là Δ = b^2 - 4ac. Với a = 1, b = -2(m+1), c = m^2 - 3m + 5, ta có:

Δ = [ -2(m+1) ]^2 - 4 1 (m^2 - 3m + 5)
= 4(m+1)^2 - 4(m^2 - 3m + 5)

Tiến hành rút gọn:

Δ = 4[(m+1)^2 - (m^2 - 3m + 5)]
= 4[m^2 + 2m + 1 - m^2 + 3m - 5]
= 4[5m - 4]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần Δ > 0:

5m - 4 > 0
=> m > 4/5.

2. Cả hai nghiệm đều dương: Để phương trình có hai nghiệm dương, ta sử dụng điều kiện rằng tổng hai nghiệm phải dương và tích hai nghiệm phải dương.

Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Theo Viète, ta có:

- Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = 2(m + 1) > 0.
- Tích hai nghiệm: x1 * x2 = m^2 - 3m + 5 > 0.

Điều kiện đầu tiên:

2(m + 1) > 0
=> m + 1 > 0
=> m > -1.

Điều kiện thứ hai:

Ta cần xét phương trình bậc 2 với hệ số m^2 - 3m + 5 = 0. Phương trình này luôn có nghiệm thực vì delta của nó là Δ = (-3)^2 - 415 = 9 - 20 = -11 (không dương). Do đó, m^2 - 3m + 5 > 0 với tất cả các giá trị của m.

Vậy, chúng ta kết hợp hai điều kiện từ trên để tìm m:

- m > 4/5 (để có hai nghiệm phân biệt),
- m > -1 (điều này luôn đúng vì m > 4/5).

Kết luận: Điều kiện duy nhất để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là m > 4/5.