x+y+z=2019. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức M=$2020^{2}$ -3($x^{2}$+$y^{2}$+$z^{2}$ )

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = 2020^2 - 3(x^2 + y^2 + z^2) với điều kiện x + y + z = 2019, trước tiên chúng ta hãy sử dụng một số tính chất về bình phương và tổng.

Theo định lý Bình phương trung bình (Cauchy-Schwarz), chúng ta có:

(x + y + z)^2 ≤ 3(x^2 + y^2 + z^2).

Thay vào đó, sử dụng điều kiện x + y + z = 2019, ta có:

2019^2 ≤ 3(x^2 + y^2 + z^2).

Từ đó, suy ra:

x^2 + y^2 + z^2 ≥ 2019^2 / 3.

Sau đó, chúng ta sẽ tiện tính M:

M = 2020^2 - 3(x^2 + y^2 + z^2)
≤ 2020^2 - 3 * (2019^2 / 3)
= 2020^2 - 2019^2
= (2020 + 2019)(2020 - 2019)
= 4039 * 1
= 4039.

Giá trị đạt được này xảy ra khi x = y = z. Để tìm các giá trị x, y, z thoả mãn x + y + z = 2019, ta có thể đặt x = y = z = k. Khi đó, 3k = 2019, dẫn đến k = 673.

Vì vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức M là:

M_max = 4039 khi x = y = z = 673.