Phân tích đa thức thành nhân tử  (a+b)^3 + (c-a)^3 - (b-c)^3

Để phân tích đa thức \( (a+b)^3 + (c-a)^3 - (b-c)^3 \), ta sử dụng công thức khai triển và định lý liên quan đến tổng và hiệu của khối lập phương.

Bắt đầu từ các khối lập phương:
1. \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
2. \( (c-a)^3 = c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3 \)
3. \( (b-c)^3 = b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3 \)

Khi thay vào đa thức ban đầu:
\[
(a+b)^3 + (c-a)^3 - (b-c)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3) - (b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3)
\]

Tiến hành rút gọn:
- Các hạng tử \( a^3 \) bị hủy: \( a^3 - a^3 = 0 \)
- Các hạng tử \( b^3 \) cũng bị hủy: \( b^3 - b^3 = 0 \)

Bây giờ ta có:
\[
= c^3 - 3c^2a + 3ca^2 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c - 3bc^2
\]

Hãy nhóm lại các hạng tử:
\[
= c^3 + (3a^2b + 3b^2c + 3ca^2 - 3c^2a - 3bc^2)
\]

Ta có thể nhận ra rằng các hạng tử trong dấu ngoặc là có thể nhóm thành một số cấu trúc nhất định. Để đơn giản hóa, ta có thể lập nhóm hoặc sử dụng các hằng số để tách biệt.

Cuối cùng, ta có thể phân tích tổng thể:

Sử dụng công thức \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - xz - yz) \) với \( x = a+b, y = c-a, z = -(b-c) \). Khi đó ta sẽ có:
\[
x + y + z = (a+b) + (c-a) - (b-c) = c + c = 2c
\]
Và \( xyz = (a+b)(c-a)(b-c) \).

Cuối cùng, tổng là \( 2c((a+b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2 - (b-c)(c-a) - (c-a)(a+b) - (a+b)(b-c)) \).

Như vậy, phương pháp khai triển và nhóm lại giúp ta đi đến việc phân tích và tìm được các yếu tố trong đa thức ban đầu.