Giải bất phương trình: l $frac{x^{2} - 5x + 4 }{x^{2} -4 }$ l $geq$ 1 có nghiệm là ...

Để giải bất phương trình l \(\frac{x^{2} - 5x + 4 }{x^{2} -4 } \geq 1\), ta bắt đầu bằng cách biến đổi bất phương trình này.

Trước hết, ta sẽ đưa 1 về phía bên trái:

\[
\frac{x^{2} - 5x + 4 }{x^{2} -4 } - 1 \geq 0
\]

Đưa 1 về chung mẫu:

\[
\frac{x^{2} - 5x + 4 - (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} \geq 0
\]

Rút gọn biểu thức trong tử số:

\[
\frac{-5x + 4 + 4}{x^{2} - 4} \geq 0
\]

\[
\frac{-5x + 8}{x^{2} - 4} \geq 0
\]

Tiếp theo, phân tích tử số và mẫu số.

Tử số: \(-5x + 8 = 0\) khi:

\(-5x + 8 = 0 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}\)

Mẫu số: \(x^{2} - 4 = 0\) khi:

\(x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) hoặc \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Vậy mẫu số sẽ bằng 0 tại \(x = -2\) và \(x = 2\).

Bây giờ ta sẽ xét dấu của biểu thức:

\[
\frac{-5x + 8}{(x+2)(x-2)}
\]

Ta có các điểm quan trọng: \(x = -2\), \(x = 2\), \(x = \frac{8}{5}\).

Chia trục số thành các khoảng:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, \frac{8}{5}) \)
3. \( (\frac{8}{5}, 2) \)
4. \( (2, +\infty) \)

Ta xét dấu của biểu thức trên từng khoảng:

1. Với \(x \in (-\infty, -2)\):
- Tử số: \(-5x + 8 > 0\) (vì \(-5x\) dương, \(8\) dương)
- Mẫu số: \( (x+2)(x-2) < 0 \) (vì cả hai nhân đều âm)
- Kết quả: \(\frac{+}{-} < 0\)

2. Với \(x \in (-2, \frac{8}{5})\):
- Tử số: \(-5x + 8 > 0\)
- Mẫu số: \( (x+2)(x-2) < 0 \) (âm dương)
- Kết quả: \(\frac{+}{-} < 0\)

3. Với \(x \in (\frac{8}{5}, 2)\):
- Tử số: \(-5x + 8 < 0\)
- Mẫu số: \( (x+2)(x-2) < 0 \) (dương âm)
- Kết quả: \(\frac{-}{-} > 0\)

4. Với \(x \in (2, +\infty)\):
- Tử số: \(-5x + 8 < 0\)
- Mẫu số: \( (x+2)(x-2) > 0 \) (cả hai dương)
- Kết quả: \(\frac{-}{+} < 0\)

Tóm lại, dấu của biểu thức \(\frac{-5x + 8}{(x+2)(x-2)} \geq 0\) trên khoảng \((\frac{8}{5}, 2)\).

Kết thúc, ta có nghiệm của bất phương trình là:

\[
x \in \left( \frac{8}{5}, 2 \right)
\]

Do đó, nghiệm của bất phương trình là \((\frac{8}{5}, 2)\).