Giúp mình tính các giới hạn dưới đây với ạ Hứa vt 5*

(f) Để tính giới hạn lim x→0+ x² sin(1/x), ta sử dụng định lý giới hạn: sin(1/x) dao động giữa -1 và 1. Do đó, x² sin(1/x) sẽ dao động giữa -x² và x². Khi x tiến tới 0 từ phía dương, cả -x² và x² đều tiến tới 0. Vậy, lim x→0+ x² sin(1/x) = 0.

(g) Để tính lim x→0 (cot x - 1/x), ta phân tích cot x = cos x/sin x. Sử dụng khai triển Taylor, khi x gần 0, ta có: sin x ≈ x - x³/6 và cos x ≈ 1. Vậy, cot x ≈ 1/x - x/6. Thay vào giới hạn ta có:
cot x - 1/x ≈ -x/6. Giới hạn này tiến tới 0 khi x tiến tới 0. Vậy, lim x→0 (cot x - 1/x) = 0.

(h) Tính giới hạn lim x→∞ x⁻⁵ ln x. Khi x tiến tới vô cùng, ln x cũng tiến tới vô cùng nhưng với tốc độ chậm hơn so với x⁵. Do đó, xét giới hạn cục bộ: x⁻⁵ ln x có dạng vướng mắc, áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta lấy đạo hàm của ln x và x⁵, cuối cùng ta kết luận lim x→∞ x⁻⁵ ln x = 0.

(i) Đối với giới hạn lim x→0⁻ (sin x) ln x, khi x tiến tới 0 âm, sin x gần giống như x và ln x sẽ tiến tới -∞. Số hạng này sẽ có dạng 0 * (-∞). Ta sử dụng quy tắc L'Hôpital để giải quyết, cuối cùng ta sẽ có lim x→0⁻ (sin x) ln x = 0.

(j) Tính giới hạn lim x→∞ (1 - 3/x)²x. Khi x tiến tới vô cực, 3/x tiến tới 0. Do đó, biểu thức (1 - 3/x) tiến tới 1. Vậy, ta có (1 - 3/x)²x ≈ e^(2(-3/x)x) = e^(-6). Do đó, lim x→∞ (1 - 3/x)²x = e^(-6).

(k) Để tính giới hạn lim x→∞ ln(ln x)/x, ln(ln x) tăng chậm hơn x, áp dụng L'Hôpital ta thấy rằng lim x→∞ ln(ln x)/x = 0.

(l) Tính giới hạn lim x→0 (2 - x)(e^x - x - 2)/x³. Khi x tiến tới 0, cả tử số và mẫu số đều có giá trị 0, ta áp dụng quy tắc L'Hôpital và lấy đạo hàm hai lần, khi đó giới hạn sẽ ra 1.

(m) Để tính lim x→0 tan⁻¹(3x) - 3tan⁻¹(x)/x³, ta sẽ có dạng 0/0. Áp dụng quy tắc L'Hôpital hai lần, sau khi tính toán, giới hạn cuối cùng cho ra 3.

(n) Tính giới hạn lim x→∞ x⁵ [sin(1/x) - 1/x + 1/6x³]. Dùng khai triển Taylor cho sin(1/x), ta có sin(1/x) ≈ 1/x - 1/(6x³). Khi đó giới hạn sẽ trở thành lim x→∞ 0, tức là giới hạn này là 0.

(o) Giới hạn lim x→0⁺ x^x. Khi x tiến tới 0, xem x^x = e^(x ln x). Thực hiện phân tích với ln x khi x tiến tới 0 dương ta thấy x ln x tiến tới 0. Do đó, lim x→0⁺ x^x = 1.