Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) biết  a) u7-u4=-216      u5-u4=-72 b)  u2-u3+u4=-12       u2+u5=-36

a) Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định nghĩa của cấp số nhân. Cấp số nhân có thể được biểu diễn dưới dạng:

u_n = u_1 * q^(n-1)

Trong đó, u_1 là số hạng đầu tiên, q là công bội.

Ta có:

u_7 - u_4 = -216 và u_5 - u_4 = -72.

Có thể viết lại các số hạng như sau:

u_7 = u_1 * q^6,
u_4 = u_1 * q^3,
u_5 = u_1 * q^4.

Giờ, thay vào phương trình đầu tiên:

u_7 - u_4 = u_1 q^6 - u_1 q^3 = -216.

Ta có:

u_1 * q^3 (q^3 - 1) = -216 ... (1)

Tương tự, thay vào phương trình thứ hai:

u_5 - u_4 = u_1 q^4 - u_1 q^3 = -72.

Ta có:

u_1 * q^3 (q - 1) = -72 ... (2)

Giờ, chia (1) cho (2):

(u_1 q^3 (q^3 - 1)) / (u_1 q^3 (q - 1)) = -216 / -72

Suy ra:

(q^3 - 1) / (q - 1) = 3.

Giải phương trình (q^3 - 1) / (q - 1) = 3:

Bằng cách phân tích, ta có:

q^3 - 1 = 3(q - 1) => q^3 - 1 = 3q - 3
=> q^3 - 3q + 2 = 0.

Áp dụng định lý Nhân tử hóa, ta tìm được nghiệm là q = 1. Thay q = 1 vào phương trình:

1^3 - 3(1) + 2 = 0, suy ra q = 2.

Sau đó, ta thay giá trị của q vào bất kỳ phương trình nào (ví dụ, dùng (1) hoặc (2)) để tìm u1.

Sử dụng phương trình (2):

u_1 q^3 (2 - 1) = -72 => u_1 q^3 = -72.

Với q = 2, ta có:

u_1 * 8 = -72 => u_1 = -9.

Vậy ta có kết quả:

u_1 = -9, q = 2.

b) Ta có các phương trình:

u_2 - u_3 + u_4 = -12 và u_2 + u_5 = -36.

Viết lại tất cả các số hạng theo công thức cấp số nhân:

u_2 = u_1 * q,
u_3 = u_1 * q^2,
u_4 = u_1 * q^3,
u_5 = u_1 * q^4.

Thay vào phương trình đầu tiên:

u_1 q - u_1 q^2 + u_1 * q^3 = -12
=> u_1 (q - q^2 + q^3) = -12 ...(1)

Tương tự với phương trình thứ hai:

u_1 q + u_1 q^4 = -36
=> u_1 (q + q^4) = -36 ...(2)

Giờ ta chia (1) cho (2):

(u_1 (q - q^2 + q^3)) / (u_1 (q + q^4)) = -12 / -36.

Giản ước, ta được:

(q - q^2 + q^3)/(q + q^4) = 1/3.

Giờ, cần lần lượt giải phương trình:

3(q - q^2 + q^3) = q + q^4
=> 3q - 3q^2 + 3q^3 = q + q^4
=> 3q^3 - q^4 - 3q^2 + 2q = 0
=> q^4 - 3q^3 + 3q^2 - 2q = 0
=> q(q^3 - 3q^2 + 3q - 2) = 0.

Nghiệm q = 0 không hợp lệ, do đó giải tiếp phương trình bậc ba:

q^3 - 3q^2 + 3q - 2 = 0.

Nghiệm của phương trình này có thể kiểm tra bằng cách thử giá trị, ta thử q = 2:

2^3 - 3(2^2) + 32 - 2 = 0.

Vậy q = 2 là nghiệm.

Giờ, thay giá trị q = 2 vào phương trình (2):

u_1 (2 + 2^4) = -36
=> u_1 (2 + 16) = -36
=> u_1 * 18 = -36
=> u_1 = -2.

Vậy ta có kết quả:

u_1 = -2, q = 2.