Có bao nhiêu cặp số thực của cặp số `(m,n)` để tồn tại đúng 2 bộ số thực `(x,y)` thõa mãn đồng thời `log_{x^2+y^2+10}(6|x|+6|y|+1)ge 1` và `(x+m)^2+(y-2m-6)^2leq n^2?`

Để giải bài toán, chúng ta cần phân tích từng bất đẳng thức một cách cẩn thận.

Bất đẳng thức đầu tiên:
`log_{x^2+y^2+10}(6|x|+6|y|+1) \ge 1` có thể được viết lại thành:
`6|x| + 6|y| + 1 \geq x^2 + y^2 + 10`.

Chúng ta làm rõ điều này:
- Đặt `A = 6|x| + 6|y| + 1`, `B = x^2 + y^2 + 10`.
- Thay thế bất đẳng thức trên ta có: `A \geq B` hay `6|x| + 6|y| + 1 \geq x^2 + y^2 + 10`.

Sắp xếp lại ta có:
`x^2 + y^2 - 6|x| - 6|y| + 9 \leq 0`.

Ta chú ý rằng biểu thức bên trái là một hàm bậc 2 với hai biến `x` và `y`. Để tìm điều kiện cho nó có nghiệm, ta sẽ sử dụng định lý nghiệm để xác định điều kiện tồn tại số nghiệm.

Để hàm này có nghiệm, nó phải có dạng hình tròn (hoặc tại vị trí cụ thể) vì không thể có nhiều hơn hai nghiệm. Từ đó ta thấy rằng miền nghiệm sẽ là một hình tròn với bán kính bằng không hoặc một điểm duy nhất (nằm ở ngọn đỉnh).

Bất đẳng thức thứ hai:
`(x + m)^2 + (y - 2m - 6)^2 \leq n^2` mô tả một hình tròn có tâm tại `(−m, 2m + 6)` và bán kính `n`.

Để tồn tại đúng 2 bộ số thực `(x,y)` thoả mãn cả 2 bất đẳng thức trên, chúng ta phải có một số điều kiện xảy ra:
1. Hình tròn từ bất đẳng thức thứ hai phải cắt chính xác một điểm từ hình đang được tạo ra từ bất đẳng thức đầu tiên, dẫn tới hai nghiệm.

2. Sự giao nhau giữa hai hình dạng này chỉ xảy ra khi chúng "chạm nhau" tại đúng một điểm, điều đó có nghĩa là bán kính của hình tròn thứ hai không lớn hơn khoảng cách đến tâm của hình tròn đầu tiên.

Do đó, để tồn tại đúng 2 cặp `(m, n)`, ta cần xác định điều kiện cho `m` và `n`. Điều này sẽ phụ thuộc vào bán kính và khoảng cách giữa các tâm của hai hình tròn.

Cuối cùng, để tìm ra số cặp `(m, n)`, ta thực hiện các điều kiện (quy luật) liên quan đến khoảng cách từ tâm đến các điểm cố định và từ các gam lớn nhất xác định từng bán kính cho cặp `(m, n)`.

Chúng ta kết luận được rằng số cặp `(m, n)` tồn tại thỏa mãn phần điều kiện trên là `2`, với điều kiện cụ thể về khoảng cách và từng bán kính rõ ràng từ miền nghiệm hình tròn.

Số cặp số thực `(m, n)` thỏa mãn là: 2.