Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua B song song với CD cắt AC tại F và đường thẳng qua C song song với AB cắt BD tại E. CM : EF song song với AD.

Để chứng minh EF song song với AD trong tứ giác ABCD, ta áp dụng tính chất của các đường thẳng song song và các góc đồng vị.

1. Giả thiết:
- Đường thẳng qua B song song với CD cắt AC tại F. Tức là BF // CD và F nằm trên AC.
- Đường thẳng qua C song song với AB cắt BD tại E. Tức là CE // AB và E nằm trên BD.

2. Chứng minh:
- Vì BF // CD và F nằm trên AC, nên theo định lý các góc đồng vị, ta có:
- góc AFB = góc CDB (đồng vị).

- Tương tự, vì CE // AB và E nằm trên BD, nên:
- góc BEC = góc DAB (đồng vị).

3. Xét hai tam giác:
- Xét tam giác AFB và tam giác CDB. Ta nhận thấy:
- góc AFB + góc A = 180° (góc kế bù).
- góc CDB + góc C = 180° (góc kế bù).

- Từ đó, ta có: góc AFB + góc CDB = 180°.

4. Sử dụng tính chất song song:
- Do BF // CD, nên EF cắt AD. Nếu EF không song song với AD thì khi EF cắt AD thì nó sẽ tạo ra một cặp góc đồng vị với góc CDB và góc AFB, nhưng theo quan sát, chúng ta đã chỉ ra rằng góc AFB và góc CDB đã là đồng vị và áp dụng tính chất bằng nhau (180°).

5. Kết luận:
- Do đó, chúng ta có EF // AD vì cả hai cặp góc đều được xác định là đồng vị khi EF cắt AD.

Chứng minh hoàn tất, nên ta đi đến kết luận rằng EF song song với AD trong tứ giác ABCD.