Cho hai đường tròn cùng tâm (O; R), (O; r) với R > r. Các điểm A, B thuộc đường tròn (O; R), các điểm A’ B’ thuộc đường tròn (O; r) sao cho O, A, A’ thẳng hàng; O, B, B’ thẳng hàng và điểm O không thuộc đường

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số định lý và tính chất của hình học Euclid.

a) Chứng minh tỉ số oa'/oa = ob'/ob:

Xét điểm A trên đường tròn lớn (O; R) và điểm A' trên đường tròn nhỏ (O; r). Gọi OA = R và OA' = r. Vì O, A, A' thẳng hàng và O là tâm của hai đường tròn, nên có tỉ số giữa OA' và OA như sau:

oa'/oa = r/R.

Tương tự, xét điểm B và B', ta có:

ob'/ob = r/R.

Vì OA và OB đều là bán kính của đường tròn (O; R) và OA' và OB' là bán kính của đường tròn (O; r), nên ta thấy rằng tỉ số oa'/oa và ob'/ob đều bằng r/R. Do đó, ta kết luận rằng:

oa'/oa = ob'/ob.

b) Chứng minh AB // A'B':

Để chứng minh AB // A'B', ta sẽ chứng minh rằng hai đoạn thẳng AB và A'B' nằm trên hai mặt phẳng song song.

Từ yêu cầu của bài toán, ta có O là trung điểm của OA, OA', OB, và OB'. Vì O không thuộc đường thẳng AB nên góc tạo bởi OA và OB với đường thẳng AB là một góc đều.

Do OA = R, OB = R, OA' = r, OB' = r và chúng đều cùng hướng với nhau do sự thẳng hàng của các điểm O, A, A' và O, B, B'. Điều này dẫn đến việc tỉ số OA'/OA = OB'/OB và cũng dẫn tới việc AB và A'B' phải song song với nhau, vì chúng đều nằm trên cùng một mặt phẳng.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng AB // A'B' do đường thẳng đi qua O và đường thẳng AB tạo thành hai góc bằng nhau với đường thẳng OA và OB mà chúng ta đã chỉ ra ở trên.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả hai kết quả a) và b) theo yêu cầu của bài toán.