Các số 1, 2, 3, …, 2025 được viết lên trên bảng. Người ta xóa đi 2 số bất kì và thay vào đó bằng tổng hoặc hiệu của hai số đã xóa đi. Chứng minh rằng sau 2024 lần thực hiện thì trên bảng chỉ còn một số khác

Để chứng minh rằng sau 2024 lần thực hiện thì trên bảng chỉ còn một số khác 0, ta sẽ xem xét quy trình xóa và thay thế các số trên bảng.

Bước 1: Xác định tổng các số ban đầu.
Ban đầu, trên bảng có các số từ 1 đến 2025. Tổng của chuỗi số này được tính bằng công thức tổng số nguyên liên tiếp:
T = (n(n + 1))/2 với n = 2025.
T = (2025 2026) / 2 = 2025 1013 = 2052825.

Bước 2: Phân tích quy trình thao tác.
Khi xóa hai số a và b thì có hai khả năng:
1. Thay thế bằng tổng: a + b.
2. Thay thế bằng hiệu: a - b.

Dù ta chọn cách nào, ta sẽ thấy rằng tổng của các số sau mỗi lần thực hiện sẽ thay đổi như sau:
- Nếu thay số bằng tổng (a + b), tổng các số trên bảng sẽ tăng lên, tuy nhiên, tổng cực đại vẫn giữ nguyên (Tổng tổng quát), vì chúng ta vẫn chỉ thay thế bằng những số đã có.
- Nếu thay bằng hiệu (a - b), tổng các số sẽ giảm đi một lượng cụ thể (tuỳ vào giá trị a và b).
- Nhưng tổng các số trên bảng vẫn duy trì được giá trị tổng qua biến đổi.

Bước 3: Tính số lượng thao tác.
Sau 2024 lần thực hiện, ta sẽ chỉ còn lại 1 số. Điều này có nghĩa là mỗi lần thực hiện xóa 2 số và thay thế bằng 1 số, làm cho số lượng số trên bảng giảm đi 1. Ban đầu có 2025 số, sau 2024 lần thực hiện sẽ chỉ còn lại 1 số.

Bước 4: Chứng minh số còn lại là khác 0.
Tổng của tất cả số ban đầu là số chẵn (2052825). Qua 2024 lần thay thế, mọi thao tác đều không thay đổi tổng chẵn lẻ của các số.

Nếu ta bắt đầu với một tổng lẻ và kết thúc với một số, số này sẽ là lẻ hoặc chẵn phụ thuộc vào mọi thao tác được thực hiện. Tại thời điểm cuối cùng, nếu tổng vẫn là số lẻ, số còn lại trên bảng cũng sẽ là số lẻ. Đương nhiên, từ quy luật toán học, không có cách nào để thao tác làm cho tổng trở thành số 0 vì điều này cần phải có ít nhất một phần tử từ 1 đến 2025.

Vì vậy, khi chỉ còn duy nhất một số trên bảng sau 2024 lần thao tác, số này sẽ khác 0.

Kết luận: Qua các bước phân tích và chứng minh, ta đã khẳng định rằng sau 2024 lần thực hiện, trên bảng chỉ còn một số khác 0.