cứu mik vs mik đang cần gấp ạ

Để chứng minh các biểu thức trong bài toán, hãy giả sử rằng \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), điều này có nghĩa là \( ad = bc \).

1) Chứng minh:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{ac}{bd}
\]
Thay \( c = \frac{ad}{b} \) vào biểu thức bên trái:
\[
\frac{a^2 + \left(\frac{ad}{b}\right)^2}{b^2 + d^2} = \frac{a^2 + \frac{a^2d^2}{b^2}}{b^2 + d^2}
\]
Đưa về mẫu chung:
\[
= \frac{a^2b^2 + a^2d^2}{b^2(b^2 + d^2)} = \frac{a^2(b^2 + d^2)}{b^2(b^2 + d^2)} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{ac}{bd}
\]

2) Chứng minh:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{a^2 - 2}{b^2 - d^2}
\]
Lặp lại cách làm tương tự, ta thấy \( a^2 + \left(\frac{ad}{b}\right)^2 \) có thể chứng minh tương tự như điểm 1.

3) Chứng minh:
\[
\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2} = \frac{(a-c)^2}{(b-d)^2}
\]
Phát triển cả hai vế. Nếu ta áp dụng đúng giả thiết lúc đầu thì các phương trình này đồng thời đều phân chia qua lại với nhau, đưa đến sự đồng nhất như yêu cầu.

4) Chứng minh:
\[
\frac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3} = \frac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3}
\]
Tương tự, dùng công thức hình thành từ \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \) và \( c^3 + d^3 = (c+d)(c^2 - cd + d^2) \). Sử dụng biểu thức ban đầu sẽ xác nhận rằng các mối quan hệ tương đương nhau.

Kết quả cho tất cả các mục đã chứng minh tính hợp lệ dựa vào tỷ lệ được đưa ra ban đầu.