OS S                                                                       SOOS

Để chứng minh rằng nếu \( a, a+m, a+2m \) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì \( m \) chia hết cho 6, ta thực hiện như sau:

1. Tính chất số nguyên tố: Các số nguyên tố lớn hơn 3 là những số lẻ và không chia hết cho 3. Vì vậy, nếu \( a, a+m, a+2m \) là các số nguyên tố lớn hơn 3, chúng chắc chắn là số lẻ.

2. Xét tính chẵn lẻ của \( m \): Nếu \( m \) là số chẵn, thì \( a+m \) và \( a+2m \) sẽ cùng dạng với \( a \) (cùng chẵn hoặc cùng lẻ), điều này dẫn đến việc ít nhất một trong ba số sẽ là số chẵn và không thể là số nguyên tố lớn hơn 2. Vì vậy, \( m \) không thể là số chẵn.

3. Xét tính chia hết cho 3: Tiếp theo, chúng ta xem \( a, a+m, a+2m \) theo modulo 3. Có ba trường hợp với \( a \) modulo 3:

- Trường hợp 1: Nếu \( a \equiv 0 \mod{3} \): Số \( a \) không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 3.
- Trường hợp 2: Nếu \( a \equiv 1 \mod{3} \):
- \( a+m \equiv 1+m \mod{3} \)
- \( a+2m \equiv 1+2m \mod{3} \)
- Nếu \( m \equiv 1 \mod{3} \): \( a+m \equiv 2 \mod{3} \) và \( a+2m \equiv 0 \mod{3} \), trong khi đó \( a+2m \) không phải là số nguyên tố.
- Nếu \( m \equiv 2 \mod{3} \): \( a+m \equiv 0 \mod{3} \), điều này cũng không hợp lệ.
- Trường hợp 3: Nếu \( a \equiv 2 \mod{3} \):
- Phân tích tương tự sẽ dẫn đến kết luận rằng \( m \) phải là 1 modulo 3, hoặc 2 modulo 3.

4. Kết luận: Từ cả hai điều trên, \( m \) phải là số lẻ và phải có dạng 3k cho một số nguyên k. Điều này có nghĩa là \( m \) là bội số của 3. Kết hợp với việc \( m \) là số lẻ, chúng ta có thể kết luận rằng \( m \) phải là bội số của 6 (vì \( 6 = 2 \times 3 \) và số lẻ là không thể là bội số của 2).

Như vậy, chúng ta chứng minh được rằng nếu \( a, a+m, a+2m \) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì \( m \) chia hết cho 6.