Chứng minh: $frac{1}{2^{2}}$ + $frac{1}{3^{2}}$ + $frac{1}{4^{2}}$ + ..+ $frac{1}{2009^{1}}$ <1

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \ldots + \frac{1}{2009^{2}} < 1,
\]

ta sẽ sử dụng tính chất của dãy số và một số bất đẳng thức cơ bản.

1. Tính giá trị tổng quát:
Xét tổng

\[
S = \sum_{n=2}^{2009} \frac{1}{n^2}.
\]

2. So sánh với một tích phân:
Để ước lượng tổng số hạng này, ta có thể sử dụng một tích phân. Từ tính chất của hàm số, ta biết rằng:

\[
\int_n^{n+1} \frac{1}{x^2} \, dx < \frac{1}{n^2} < \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^2} \, dx.
\]

Do đó:

\[
\sum_{n=2}^{N} \int_n^{n+1} \frac{1}{x^2} \, dx < \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2} < \sum_{n=1}^{N} \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^2} \, dx.
\]

3. Tính từng phần của tích phân:
Tính tích phân:

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C.
\]

Vì vậy,

\[
\int_{2}^{2009} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{2}^{2009} = -\frac{1}{2009} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2009}.
\]

4. Đánh giá tổng S:

Ta biết rằng từ kết quả từ bước 2 và 3, ta có:

\[
S < \sum_{n=2}^{2009} \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{1}^{2009} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2009} = -\frac{1}{2009} + 1 = 1 - \frac{1}{2009}.
\]

5. Kết luận:

Từ các bước trên, chúng ta biết rằng \(\frac{1}{2009}\) rất nhỏ, do đó tổng \(S\) sẽ nhỏ hơn

\[
1 - \frac{1}{2009} < 1.
\]

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \ldots + \frac{1}{2009^{2}} < 1.
\]

Điều này chứng minh rằng bất đẳng thức đã cho là đúng.