cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi I là giao điểm của AN mà DM. Gọi K là giao điểm của MC và BN. Chứng minh rằng MKNI là hình vuông

Để chứng minh rằng MKNI là hình vuông, ta sẽ sử dụng các thuộc tính của hình chữ nhật và các điểm được xác định trong đề bài.

1. Đặt tọa độ cho các điểm:
- Gọi điểm A có tọa độ (0, 0).
- Với AB = 2AD, ta đặt AB = 2a và AD = a. Vậy điểm B sẽ có tọa độ (2a, 0) và điểm D sẽ có tọa độ (0, a), điểm C sẽ có tọa độ (2a, a).
- Tọa độ các điểm là:
- A(0, 0)
- B(2a, 0)
- C(2a, a)
- D(0, a)

2. Tìm tọa độ trung điểm M và N:
- M là trung điểm của AB, do đó tọa độ M là:
M = ((0 + 2a)/2, (0 + 0)/2) = (a, 0)
- N là trung điểm của CD, do đó tọa độ N là:
N = ((2a + 0)/2, (a + a)/2) = (a, a)

3. Xét phương trình đường thẳng AN và DM:
- Đường thẳng AN: Đi qua A(0, 0) và N(a, a). Phương trình đường thẳng AN là y = x.
- Đường thẳng DM: Đi qua D(0, a) và M(a, 0).
- Độ dốc của DM là (0 - a) / (a - 0) = -1. Vậy phương trình DM là y = -x + a.

4. Tìm giao điểm I của AN và DM:
- Tìm x: x = -x + a
- 2x = a => x = a/2
- Tìm y: y = x => y = a/2
- Do đó, I có tọa độ (a/2, a/2).

5. Xét tìm giao điểm K của MC và BN:
- Đường thẳng MC: Đi qua M(a, 0) và C(2a, a).
- Độ dốc của MC = (a - 0) / (2a - a) = 1. Vậy phương trình là y = x - a.
- Đường thẳng BN: Đi qua B(2a, 0) và N(a, a).
- Độ dốc của BN = (a - 0) / (a - 2a) = -a/a = -1. Vậy phương trình là y = -x + 2a.

6. Tìm giao điểm K:
- Giải phương trình hệ:
y = x - a
y = -x + 2a
- Thay vào nhau, ta có:
x - a = -x + 2a
2x = 3a => x = 3a/2
- Tìm y: y = x - a = 3a/2 - a = a/2.
- Do đó, K có tọa độ (3a/2, a/2).

7. Kiểm tra tính vuông của tứ giác MKNI:
- Tọa độ M(a, 0), K(3a/2, a/2), N(a, a), I(a/2, a/2)
- Tính độ dài các cạnh:
- MK = sqrt(((3a/2 - a)^2) + ((a/2 - 0)^2)) = sqrt((a/2)^2 + (a/2)^2) = sqrt((a^2)/4 + (a^2)/4) = sqrt((a^2)/2) = (a/sqrt(2))
- KN = sqrt(((a - 3a/2)^2) + ((a - a/2)^2)) = sqrt((-a/2)^2 + (a/2)^2) = sqrt((a^2)/4 + (a^2)/4) = sqrt((a^2)/2) = (a/sqrt(2))
- NI = sqrt(((a/2 - a)^2) + ((a/2 - a)^2)) = sqrt((-a/2)^2 + (-a/2)^2) = sqrt((a^2)/4 + (a^2)/4) = sqrt((a^2)/2) = (a/sqrt(2))
- IM = sqrt(((a - a/2)^2) + ((0 - a/2)^2)) = sqrt((a/2)^2 + (-a/2)^2) = sqrt((a^2)/4 + (a^2)/4) = sqrt((a^2)/2) = (a/sqrt(2))

- Độ dài các cạnh MK, KN, NI, IM đều bằng nhau. Vì tất cả các góc đều vuông (do phương trình đường thẳng đã cho), vậy MKNI là hình vuông.

Do đó, kết luận rằng MKNI là hình vuông.