Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang, cạnh đáy lớn AD = 2BC . Gọi I,K lần lượt là trung điểm AD và SI. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2MB . a) Tìm giao điểm J của đường BC và

a) Để tìm giao điểm J của đường BC và mặt phẳng (SKM), trước hết ta cần xác định phương trình của mặt phẳng (SKM).

- Gọi tọa độ các điểm: A(0, 0, 0), B(b, 0, 0), C(c, h, 0), D(2b, h, 0), S(x_s, y_s, z_s). Do AD = 2BC, ta có b = c/2.
- Tính tọa độ các điểm trung gian: I = ((2b + 0)/2, (h + 0)/2, 0) = (b, h/2, 0) và K = ((x_s, y_s, z_s)/2) = (x_s/2, y_s/2, z_s/2).
- Tìm phương trình mặt phẳng (SKM) bằng cách sử dụng điểm K và vectơ SK với vectơ AM (M có tọa độ (3b/2, 0, 0) do AM = 2MB).
- Từ đây, có phương trình mặt phẳng (SKM). Để tìm J, ta thay tọa độ về phương trình mặt phẳng (SKM) và đường BC, từ đó giao điểm J sẽ được xác định.

b) Để chứng minh BCFE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện đều song song và có độ dài bằng nhau.

- Ta có mặt phẳng (KBC) cắt SA tại E và SD tại F. Đồng thời, các điểm B và C nằm trên mặt phẳng (KBC), vì vậy EF song song với BC.
- Tính tọa độ E và F từ phương trình đường thẳng SA và SD, so sánh độ dài EF với BC.
- Nếu EF = BC thì BCFE là hình bình hành.

c) Để chứng minh JK // (GMC), trước tiên tìm tọa độ J và G.

- Điểm G là trọng tâm tam giác SAD, có tọa độ G = ((x_s + 0 + 2b)/3, (y_s + 0 + h)/3, z_s/3).
- Đặt hệ số tỷ lệ cho đường thẳng JK, và chứng minh rằng vectơ JK và vectơ GMC cùng phương. Từ đó, có thể kết luận rằng JK || (GMC).

Tóm lại, kết quả trên được xây dựng qua việc xác định tọa độ và sử dụng tính chất hình học của các mặt phẳng và điểm.