Tìm x, y nguyên biết 3x(3x-2) = y^3

Để giải phương trình 3x(3x-2) = y^3, ta bắt đầu phân tích các phần của phương trình.

1. Phương trình đã cho:
3x(3x-2) = y^3

2. Đưa phương trình vào dạng khác:
- Tính toán bên trái:
3x(3x - 2) = 9x^2 - 6x.
- Vậy ta có:
9x^2 - 6x = y^3.

3. Xét trường hợp tổng quát:
Ta cần tìm các giá trị nguyên (x, y) sao cho 9x^2 - 6x là một số chính phương.

4. Xét y^3:
Bên phải phương trình là y^3, chỉ nhận giá trị nguyên. Do đó, bên trái - tức là 9x^2 - 6x cũng phải là một chính phương. Vậy ta sẽ xem xét phương trình này một cách cẩn thận hơn.

5. Xét nghiệm nghiệm:
Ta có thể thử các giá trị nhỏ cho x và tính toán y.

- Nếu x = 0:
9(0)^2 - 6(0) = 0 -> y^3 = 0 -> y = 0.

- Nếu x = 1:
9(1)^2 - 6(1) = 9 - 6 = 3, không phải là chính phương.

- Nếu x = 2:
9(2)^2 - 6(2) = 36 - 12 = 24, không phải là chính phương.

- Nếu x = 3:
9(3)^2 - 6(3) = 81 - 18 = 63, không phải là chính phương.

- Nếu x = 4:
9(4)^2 - 6(4) = 144 - 24 = 120, không phải là chính phương.

- Nếu x = 5:
9(5)^2 - 6(5) = 225 - 30 = 195, không phải là chính phương.

Qua các số nguyên từ 0 đến 5, chỉ tìm được nghiệm (0, 0).

6. Tìm các nghiệm âm:
Cũng thử các giá trị âm cho x.

- Nếu x = -1:
9(-1)^2 - 6(-1) = 9 + 6 = 15, không phải là chính phương.

- Nếu x = -2:
9(-2)^2 - 6(-2) = 36 + 12 = 48, không phải là chính phương.

- Nếu x = -3:
9(-3)^2 - 6(-3) = 81 + 18 = 99, không phải là chính phương.

Cũng không tìm thấy giá trị nào khác tạo ra y là chính phương.

Có thể thấy rằng trong các lần thử trên, các giá trị x cho ra y^3 không phải là các chính phương trừ khi x = 0.

Do đó, nghiệm nguyên duy nhất cho phương trình 3x(3x-2) = y^3 là (x, y) = (0, 0).