Bài 19: CMR: a) $5x^{2}$ `+` $10y^{2}$ `- 6xy - 4x - 2y +3 > 0`

Để giải bất phương trình bậc hai nhiều biến $5x^{2} + 10y^{2} - 6xy - 4x - 2y + 3 > 0$, ta có thể phân tích biểu thức này và tìm điều kiện để nó luôn lớn hơn 0.

Đầu tiên, ta xem xét biểu thức $5x^{2} + 10y^{2} - 6xy$. Đây là một đa thức bậc hai theo biến $x$ và $y$. Để xem biểu thức này có thể biểu diễn theo dạng một lượng bình phương hay không, ta kiểm tra các hệ số của $x$ và $y$.

Có thể sắp xếp lại như sau:

1. Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$:

$$5x^2 - 6xy + 10y^2$$

2. Để xác định xem và tính định thức của ma trận tương ứng với đa thức này, ta xem xét hàm đa thức dạng ma trận:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{pmatrix}$$

3. Tính định thức của ma trận $A$:

$$\text{det}(A) = 5 \cdot 10 - (-3)(-3) = 50 - 9 = 41$$

Vì định thức dương và hệ số của $x^2$ là 5 (cũng dương), đa thức $5x^2 - 6xy + 10y^2$ là một hàm đồng dấu (positive definite). Nó lớn hơn 0 với mọi giá trị của $x$ và $y$.

Khi xét hạng tử $-4x - 2y + 3$, ta cần tìm giá trị của chúng để đảm bảo toàn bộ bất phương trình:

$$5x^{2} + 10y^{2} - 6xy - 4x - 2y > -3$$

Thay thế cho biểu thức trên:

$$5x^{2} + 10y^{2} - 6xy > 4x + 2y - 3$$

Cuối cùng, ta sẽ coi xét giá trị cực trị của hàm số này với cách sử dụng đạo hàm riêng hoặc kiểm tra điều kiện biên để xác định các giá trị của $x$ và $y$. Nếu tìm thấy rằng tồn tại khoảng giá trị với $x$ và $y$, từ đó đảm bảo hằng số không vượt qua điều kiện toàn bộ bất phương trình là dương.

Do đó, với những phân tích trên, kết luận sẽ là bất phương trình $5x^2 + 10y^2 - 6xy - 4x - 2y + 3 > 0$ là luôn đúng với mọi giá trị của $x$ và $y$.