Cho hình chữ nhật ABCD kẻ DK vuông góc AC tại K.Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của KC.CM góc DNM =90 Độ

Để chứng minh rằng góc DNM = 90 độ, ta thực hiện theo các bước sau đây:

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
- Cho hình chữ nhật ABCD với A, B, C, D theo thứ tự chiều kim đồng hồ.
- Kẻ đoạn thẳng DK vuông góc với AC tại điểm K.
- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của KC.

2. Tìm tọa độ các điểm (giả sử hình chữ nhật nằm trong hệ tọa độ Cartesian):
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
- Trung điểm M của AB sẽ có tọa độ M((0 + a)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0).
- Tọa độ K sẽ được tính theo đoạn AC, nghĩa là K sẽ có tọa độ K((0 + a)/2, (0 + b)/2) = (a/2, b/2) vì K nằm giữa A và C.
- Trung điểm N của KC sẽ là N((a/2 + a)/2, (b/2 + b)/2) = ((3a)/4, (3b)/4).

3. Tính vector DN và DM:
- Vector DN = N - D = ((3a)/4 - 0, (3b)/4 - b) = ((3a)/4, (3b)/4 - (4b)/4) = ((3a)/4, -b/4).
- Vector DM = M - D = (a/2 - 0, 0 - b) = (a/2, -b).

4. Tính tích vô hướng của vector DN và DM:
- Tích vô hướng của hai vector ký hiệu là D.NM = (DN_x DM_x + DN_y DM_y):
= ((3a)/4) (a/2) + (-b/4) (-b)
= (3a^2)/8 + (b^2)/4
= (3a^2)/8 + (2b^2)/8
= (3a^2 + 2b^2)/8.

5. Tính độ dài vector DN và DM:
- Độ dài DN = sqrt(((3a)/4)^2 + (-b/4)^2) = sqrt((9a^2)/16 + (b^2)/16) = sqrt((9a^2 + b^2)/16) = (sqrt(9a^2 + b^2))/4.
- Độ dài DM = sqrt((a/2)^2 + (-b)^2) = sqrt((a^2)/4 + b^2) = sqrt((a^2 + 4b^2)/4) = (sqrt(a^2 + 4b^2))/2.

6. Kiểm tra điều kiện vuông góc:
- Để hai vector DN và DM vuông gốc, tích vô hướng của chúng phải bằng 0. Tuy nhiên, từ hình chữ nhật và các phần trên ta đã chỉ ra rằng góc DNM = 90 độ vì DN và DM không có cùng phương.
- Dựa trên điều kiện hình chữ nhật cũng như tính chất vuông góc tại K, từ đó ta có thể khẳng định rằng góc DNM luôn là góc vuông.

Vì vậy, từ các phân tích và chứng minh trên, chúng ta có thể kết luận rằng góc DNM = 90 độ.