Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SA.a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).b) Chứng minh: MN // (SBD)c) Chứng minh: SO // (MNP).(Cứu vơu mn ơi)

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đoạn thẳng được xác định bởi hai đường giao nhau của hai mặt phẳng. Để tìm giao tuyến này, ta sẽ lần lượt quan sát các điểm và đường thẳng của hình chóp.

Mặt phẳng (SAB) đi qua điểm S và hai điểm A, B. Mặt phẳng (SCD) đi qua điểm S và hai điểm C, D. Giao tuyến giữa hai mặt phẳng này chính là đoạn thẳng được xác định bởi hai điểm. Tình huống cụ thể ở đây là đoạn thẳng giao nhau thông qua các điểm nằm trên mặt phẳng (SAB) và (SCD). Đoạn thẳng này, do đó, bao gồm các điểm có tọa độ nằm trong cả hai mặt phẳng.

Vì hai mặt phẳng này không song song và có chứa điểm S, giao tuyến sẽ là đoạn thẳng nối giữa hai điểm là giao điểm của các đường thẳng: AB và CD.

Giả sử A và B lần lượt là hai điểm trong mặt phẳng (SAB), và C và D trong mặt phẳng (SCD). Thì giao tuyến sẽ là đoạn thẳng đi qua hai điểm được đánh dấu, đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

b) Để chứng minh MN // (SBD), ta sẽ xem xét các điểm M, N, P được xác định. Các điểm này là trung điểm của các cạnh AB, AD và SA, tương ứng, M và N là trung điểm của hai cạnh trong hình chóp.

Đường thẳngMN là đường thẳng nối giữa các điểm M và N. Để chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBD), ta sẽ phát hiện thấy rằng mặt phẳng (SBD) theo một số đặc điểm cụ thể của các điểm S, B, D.

Có một mối liên hệ giữa các điểm M, N và chiều cao từ điểm S đến mặt phẳng của đáy có chứa các điểm B, D. Để chứng minh nhiều nhất rằng MN có thể tạo ra một đường thẳng song song với mặt phẳng (SBD), ta cần biết rằng hình bình hành O có những đặc tính đối xứng.

Việc suy ra là do sự tương đồng của các hình học trong trường hợp này. Hơn nữa, do M là trung điểm nên trong tam giác SBD, đường thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh AB và AD sẽ là đường thẳng song song với cạnh SB, tỷ dụ như trong trường hợp này, chúng có hành vi như một đường chéo.

c) Để chứng minh SO // (MNP), ta sẽ dựa vào cách mà điểm S và các điểm M, N, P tương tác trong không gian hình chóp.

Chúng ta có điểm S nằm trên đỉnh của hình chóp, trong khi M, N, P là các điểm nằm ở các vị trí trung điểm trên các cạnh của hình chóp. Mặt phẳng (MNP) được xác định bởi ba điểm này. Khi ta vẽ hình chóp và phân tích các vị trí của các điểm, ta sẽ thấy rằng vì S lên cao hơn các điểm còn lại, nên vector từ S đến M, N, và P sẽ đều vuông góc với mặt phẳng (MNP).

Từ đó suy ra là đường thẳng nối S sẽ nằm trong một hướng song song với mặt phẳng (MNP), lập luận dựa vào tín hiệu hình học của các điểm trong không gian. Do đó, SO song song với mặt phẳng (MNP) là đúng.

Chính vì lý do này mà chúng ta đã chứng minh được xác suất SO // (MNP) theo các chỉ dẫn của hình chóp hoàn chỉnh đã đề cập trong câu hỏi ban đầu.