Cho x>1, so sánh $frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}$ với  $sqrt{frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}}$

Để so sánh hai biểu thức

A = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ và B = $\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}$ với x > 1, ta sẽ bắt đầu phân tích các biểu thức này.

Trước tiên, ta nhận thấy rằng B thực chất là căn bậc hai của A:

B = $\sqrt{A}$.

Do đó, để so sánh A và B, ta sẽ xét dấu của A và B. Vì A là một biểu thức dương (vì cả tử và mẫu đều dương khi x > 1), ta có thể so sánh A với B bằng cách bình phương cả hai biểu thức (điều này là hợp lệ vì cả hai đều dương):

So sánh A với B tương đương với việc so sánh A với B:

A $>$ B tương đương với A $>$ \sqrt{A}

Hay:

A $>$ A^(1/2)

Bình phương cả hai vế (cái này duy trì dấu không đổi vì các số đều dương), ta có:

A^2 $>$ A.

Chuyển vế, ta có:

A^2 - A $>$ 0

Nghĩa là A (A - 1) $>$ 0.

Khi x > 1, thì A = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$. Với x > 1, ta thấy rằng:

- A luôn dương (do x > 1, nên cả tử và mẫu đều dương).
- Ta cần kiểm tra A - 1:

A - 1 = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - 1 = \frac{\sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2}{\sqrt{x} - 1}$.

Vì x > 1, nên $\sqrt{x} - 1 > 0$, do đó A - 1 > 0. Từ đó suy ra A > 1.

Kết luận là A > 1 và A(A - 1) > 0. Vậy ta có A > \sqrt{A}, tức A > B.

Vậy ta có:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} > \sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}$ khi x > 1.