Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt các cạnh bên AD, BC lần lượt tại M, N. 1. Chứng minh: OM = ON 2. Chứng minh: AM/AD+CN/CB=1

1. Để chứng minh \(OM = ON\), ta sử dụng tính chất của hình thang. Bởi vì \(AB\) song song với \(CD\), nên các đường thẳng đi qua điểm \(O\) và song song với \(AB\) cũng sẽ chia các đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) thành các đoạn tỉ lệ. Cụ thể, theo tính chất của hình thang, khi kéo dài đường thẳng qua \(O\) song song với \(AB\) để cắt \(AD\) tại \(M\) và \(BC\) tại \(N\), ta thấy rằng các góc tạo thành tại \(M\) và \(N\) sẽ đồng dạng với các góc tại \(O\).

Điều này dẫn đến tỉ số các đoạn thẳng bị chia sẽ bằng nhau, do đó suy ra:

\[
\frac{OM}{ON} = \frac{AD}{BC}
\]

Bên cạnh đó, vì \(OM\) và \(ON\) là hai đoạn nằm trên cùng một đường thẳng song song với \(AB\), do đó độ dài của hai đoạn này sẽ bằng nhau khi mà \(AD\) và \(BC\) có độ dài không thay đổi. Như vậy, chúng ta khẳng định được rằng \(OM = ON\).

2. Để chứng minh được \( \frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1 \), ta áp dụng định lý Thales cho hai tam giác \(AOM\) và \(CON\).

Ta có:

\[
\text{Vì } OM // AB \text{ nên } \frac{AM}{AD} = \frac{OM}{OC} \text{ và } \frac{CN}{CB} = \frac{ON}{OC}
\]

Từ câu 1, biết rằng \(OM = ON\), ta có:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = \frac{OM}{OC} + \frac{ON}{OC} = \frac{OM + ON}{OC} = \frac{2OM}{OC}
\]

Trong đó \(OC\) là đoạn chia đều cho cả hai đoạn \(OM\) và \(ON\). Khi \(OC\) không đổi, tỉ số tổng này sẽ thay đổi theo tỉ lệ giữa \(AM\) và \(CN\).

Vì M, N nằm trên các cạnh \(AD\) và \(BC\) tương ứng, tổng độ dài này sẽ cho ra:

\[
\frac{AM + CN}{AD + CB} = 1
\]

Do đó, ta có \( \frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1 \). Điều này kết hợp với tính chất chia đoạn của nó từ O sẽ cho phép chúng ta kết luận rằng:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1
\]

Vậy nên câu 2 cũng được chứng minh xong.