Giúp ý b,c với ạ Cả bài càng tốt

b) Để chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m, ta sẽ xem xét các hệ số của phương trình và điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai.

Phương trình có dạng: x^2 - mx + (m - 1) = 0.

Đối với phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0, điều kiện có nghiệm là:

Δ = b^2 - 4ac ≥ 0.

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:

- a = 1,
- b = -m,
- c = m - 1.

Thay vào công thức tính Δ:

Δ = (-m)^2 - 4 1 (m - 1)
Δ = m^2 - 4(m - 1)
Δ = m^2 - 4m + 4
Δ = (m - 2)^2.

Biểu thức (m - 2)^2 luôn không âm (Δ ≥ 0) vì đây là một bình phương. Điều này có nghĩa là với mọi giá trị m, Δ luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, phương trình (1) luôn có nghiệm thực với mọi giá trị m.

c) Gọi x_1 và x_2 là hai nghiệm của phương trình (1). Theo tiêu chí Viète, ta có:

x_1 + x_2 = m,
x_1 * x_2 = m - 1.

Cần tìm giá trị của m để biểu thức P = x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có công thức:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.

Thay vào công thức Viète:

x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2(m - 1)
= m^2 - 2m + 2.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m^2 - 2m + 2. Phương trình này là một parabol mở lên (vì hệ số trước m^2 là dương).

Giá trị nhỏ nhất của một parabol có dạng ax^2 + bx + c tại x = -b/(2a). Áp dụng vào đây:

- a = 1,
- b = -2.

Vậy x = -(-2)/(2*1) = 1.

Thay giá trị m = 1 vào biểu thức:

P = 1^2 - 2*1 + 2
= 1 - 2 + 2
= 1.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của P = x_1^2 + x_2^2 đạt được khi m = 1, và giá trị nhỏ nhất là 1.