`A = 1/2 mũ 2 + 1/4 mũ 2 + 1/6 mũ 2 +...+1/2n mũ 2<1/2

Ta cần xem xét biểu thức:

A = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ... + 1/(2n)^2.

Đầu tiên, hãy đi phân tích từng phần của biểu thức.

Các số hạng trong biểu thức này là những phân số có mẫu là bình phương của các số chẵn từ 2 đến 2n. Có thể viết lại như sau:

A = Σ (1/(2k)^2) cho k từ 1 đến n.

Tức là:

A = Σ (1/(4k^2)) cho k từ 1 đến n.

Nếu ta đưa 1/4 ra ngoài dấu tổng, ta có:

A = (1/4) * Σ (1/k^2) cho k từ 1 đến n.

Biểu thức Σ (1/k^2) là tổng của các nghịch đảo bình phương của các số nguyên dương. Theo lý thuyết về hội tụ, tổng này hội tụ đến π^2/6 khi n tiến đến vô cực. Tuy nhiên, ở đây chúng ta chỉ tính tổng đến n, nên giá trị cụ thể của tổng này là một số dương và sẽ nhỏ hơn π^2/6.

Bây giờ, khi n tiến đến vô cực, tổng A sẽ tiến đến:

A ≈ (1/4) * (π^2/6).

Để xem xét điều kiện A < 1/2, ta kiểm tra:

(1/4) * (π^2/6) < 1/2.

Giải bất phương trình này, ta thấy:

π^2/24 < 1/2.

Điều này rút gọn thành π^2 < 12. Biết rằng giá trị gần đúng của π^2 là khoảng 9.87, ta thấy rằng bất phương trình này là đúng.

Do đó, khi n tiến tới vô cực, tổng A sẽ hội tụ và luôn nhỏ hơn 1/2.

Kết luận, giá trị của A khi n trở nên lớn sẽ luôn nhỏ hơn 1/2.