Help me phần nguyên hàm với ạ

25. Để tính nguyên hàm của hàm số ln(x)/(2x), ta có thể sử dụng phương pháp phân tích. Gọi u = ln(x), thì đạo hàm của u là du/dx = 1/x, từ đó dx = x du. Thay vào nguyên hàm:

∫ (ln(x)/(2x)) dx = ∫ (u/2) du = (u^2)/4 + C = (ln(x))^2/4 + C.

26. Tính nguyên hàm của (ln(x) + 3)^3/(2x), ta sẽ áp dụng thay thế. Gọi u = ln(x) + 3, thì đạo hàm của u là du/dx = 1/x, và x = e^(u - 3). Thay vào nguyên hàm:

∫ (ln(x) + 3)^3/(2x) dx = 1/2 ∫ u^3 du = (u^4)/8 + C = (ln(x) + 3)^4/8 + C.

27. Nguyên hàm của tan(x) + cot(x) dx là:

∫ (tan(x) + cot(x)) dx = ∫ tan(x) dx + ∫ cot(x) dx.

Nguyên hàm của tan(x) là -ln|cos(x)|, và của cot(x) là ln|sin(x)|, do đó:

∫ (tan(x) + cot(x)) dx = -ln|cos(x)| + ln|sin(x)| + C = ln|sin(x)/cos(x)| + C = ln|tan(x)| + C.

28. Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần hoặc phương pháp giản ước. Đặt v = 3cos(x), thì dv = -3sin(x) dx. Tính nguyên hàm:

∫ e^(3cos(x)) sin(x) dx = ∫ e^v (-1/3) dv = -1/3 e^v + C = -1/3 e^(3cos(x)) + C.

29. Để tính nguyên hàm của sin(ln(x))/x, ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Đặt u = ln(x), thì dx/x = du, ta có:

∫ sin(ln(x))/x dx = ∫ sin(u) du = -cos(u) + C = -cos(ln(x)) + C.

30. Để tính nguyên hàm của sin(3x)cos(x), ta áp dụng công thức nhân đôi. Dùng công thức sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a+b) + sin(a-b)):

∫ sin(3x)cos(x) dx = (1/2) ∫ (sin(4x) + sin(2x)) dx = (1/2)[-cos(4x)/4 + (-cos(2x)/2)] + C.

Kết quả là:

(1/8)cos(4x) - (1/4)cos(2x) + C.