Một con lắc lò xo gồm vật nặng 0,25 kg dao động điều hòa theo phương ngang mà trong 1 giây thực hiện được 4 dao động. Biết động năng cực đại của vật là 0,288 J. Tính chiều dài quỹ đạo dao động.

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức liên quan đến chuyển động điều hòa của con lắc lò xo.

Đầu tiên, chúng ta biết rằng tần số dao động \(f\) được cho là 4 dao động trong 1 giây, tức là:

\[ f = 4 \, \text{Hz} \]

Từ tần số, chúng ta có thể tính chu kỳ \(T\) của dao động bằng công thức:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{4} = 0,25 \, \text{giây} \]

Động năng cực đại \(E_k\) của vật được cho là 0,288 J. Động năng cực đại của dao động điều hòa được tính bằng công thức:

\[ E_k = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \]

Trong đó:
- \(m\) là khối lượng của vật (0,25 kg),
- \(\omega\) là tần số góc,
- \(A\) là biên độ dao động.

Tần số góc \(\omega\) liên quan đến tần số \(f\) qua công thức:

\[ \omega = 2\pi f \]

Thay giá trị của \(f\):

\[ \omega = 2\pi \times 4 = 8\pi \, \text{rad/s} \]

Bây giờ chúng ta sẽ thay vào công thức động năng cực đại:

\[ 0,288 = \frac{1}{2} \times 0,25 \times (8\pi)^2 A^2 \]

Giải phương trình này để tìm \(A\):

\[ 0,288 = \frac{1}{2} \times 0,25 \times 64\pi^2 A^2 \]
\[ 0,288 = 0,125 \times 64\pi^2 A^2 \]
\[ 0,288 = 8\pi^2 A^2 \]

Chia hai vế cho \(8\pi^2\):

\[ A^2 = \frac{0,288}{8\pi^2} \]

Tính giá trị \(A^2\):

\[ A^2 \approx \frac{0,288}{79.577} \approx 0,00362 \]

Tiến hành lấy căn bậc hai để tìm \(A\):

\[ A \approx \sqrt{0,00362} \approx 0,0601 \, \text{m} \]

Cuối cùng, chiều dài quỹ đạo dao động sẽ là biên độ nhân với 2 (vì con lắc lò xo dao động từ -A đến +A). Do đó, chiều dài quỹ đạo dao động là:

\[ L = 2A \approx 2 \times 0,0601 \approx 0,1202 \, \text{m} \]

Vậy, chiều dài quỹ đạo dao động khoảng 0,1202 m.