Tìm số tự nhiên x: a) (x+120) chia hết 20; (x+125) chia hết 22; (x+90) chia hết 15 và 500<x<700 b) 3x+11 chia hết 3x-1 c) 3x +17 chia hết  x+2 d) 13-3x chia hết x+1 e) (x mũ 2 +x-5) chia hết (x-2)

a) Để tìm số tự nhiên x thỏa mãn các điều kiện:

1. (x + 120) chia hết 20 → x + 120 ≡ 0 (mod 20)
Điều này có nghĩa là x + 120 là bội của 20, ta có thể viết công thức: x + 120 = 20k với k là số nguyên.
Suy ra: x ≡ -120 ≡ 0 (mod 20), tức là x = 20n (với n là số nguyên).

2. (x + 125) chia hết 22 → x + 125 ≡ 0 (mod 22)
Tương tự, x + 125 = 22m, suy ra x ≡ -125 ≡ 3 (mod 22).

3. (x + 90) chia hết 15 → x + 90 ≡ 0 (mod 15)
Ta có x + 90 = 15p, suy ra x ≡ -90 ≡ 0 (mod 15), tức là x = 15q (với q là số nguyên).

4. Điều kiện 500 < x < 700.

Tóm lại, ta có hệ phương trình:
- x ≡ 0 (mod 20)
- x ≡ 3 (mod 22)
- x ≡ 0 (mod 15)

Giải hệ phương trình này ta có thể sử dụng phương pháp đồng dư. Bắt đầu từ điều kiện x ≡ 0 (mod 20) và x ≡ 0 (mod 15).

Tìm bội chung nhỏ nhất:
- BCN của 20 và 15 là 60. Từ đó, x có thể viết dưới dạng: x = 60k.

Tiếp theo dùng điều kiện x ≡ 3 (mod 22):
- Thay x = 60k vào điều kiện này: 60k ≡ 3 (mod 22).
- Rút gọn, 60 ≡ 16 (mod 22). Vậy có: 16k ≡ 3 (mod 22).
- Điều này có thể giải bằng cách tìm số nghịch đảo của 16 mod 22.

Áp dụng thuật toán Euclid mở rộng, ta tính và tìm được rằng, số nghịch đảo của 16 mod 22 là 18. Do đó:
k ≡ 3 * 18 mod 22
k ≡ 54 mod 22 → k ≡ 10 mod 22.

Giả sử k = 22m + 10 cho một số nguyên m, thay vào x = 60k:
x = 60(22m + 10) = 1320m + 600.

Xét điều kiện 500 < x < 700:
- Khi m = 0, x = 600 thỏa mãn.
- Khi m > 0, x > 700 không thỏa mãn.

Vậy, x = 600 là đáp án duy nhất thoả mãn các điều kiện.

b) Để giải 3x + 11 chia hết cho 3x - 1, ta có thể biến đổi:
Vì 3x - 1 != 0 cho x khác 1/3, điều kiện này sẽ trở thành (3x + 11) = k(3x - 1) với k là số nguyên.
Giải phương trình này, ta có: 3x + 11 = k(3x - 1) → 3x + 11 = 3kx - k → 3x(1 - k) = -11 - k.
Với k = 1, 2,..., ta có điều kiện để 3x + 11 chia hết cho 3x - 1 là 11 + k phải chia hết cho 3.
Giải điều này tức là:
(11 + k) mod 3 = 0, mà 11 mod 3 = 2. Ta có k mod 3 = 1.

Có nghĩa là k có dạng: k = 3m + 1 với m là số nguyên. Thay k vào và tìm x tương ứng.

c) 3x + 17 chia hết cho x + 2 có nghĩa: 3x + 17 = k(x + 2).
Giải ra:
3x + 17 = kx + 2k.
Tóm lại, (3 - k)x = 2k - 17.
Với điều kiện là 3 - k khác 0, x sẽ có dạng:
x = (2k - 17) / (3 - k).
Để x là cả số, ta cần điều kiện 2k - 17 chia hết cho 3 - k.

d) Để 13 - 3x chia hết cho x + 1, viết lại: 13 - 3x = k(x + 1).
Điều này tương đương với 13 - 3x = kx + k.
Sắp xếp lại: (3 + k)x = 13 - k.
Để x tồn tại, (3 + k) không bằng 0.
Và từ đó x sẽ là số nguyên khi cho k phù hợp.

e) Để (x^2 + x - 5) chia hết cho (x - 2), ta có thể dựa vào Định lý chia đa thức.
Như vậy: f(2) = 0. Tính để tìm số x thỏa mãn: 2^2 + 2 - 5 = 0.
Điều này dẫn đến 2 là một nghiệm của phương trình.

Tóm lại các số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện b, c, d, e sẽ có quá trình tìm kiếm và giải dựa trên những biểu thức và điều kiện chia hết.