Cho A= $frac{x+1}{x-2}$ + $frac{x-1}{x+2}$ + $frac{x^2+4x}{4-x^2}$ với (x $ eq$ ±2) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 4 c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên dương Giúp e với ạ!!!

a) Để rút gọn biểu thức A, trước tiên ta có A như sau:

A = $\frac{x+1}{x-2}$ + $\frac{x-1}{x+2}$ + $\frac{x^2+4x}{4-x^2}$

Chúng ta sẽ bắt đầu với thành phần thứ ba: $\frac{x^2+4x}{4-x^2}$. Ta có thể biến đổi nó như sau:

4 - x² = -(x² - 4) = -(x - 2)(x + 2)

Do đó:

$\frac{x^2 + 4x}{4 - x^2} = \frac{x^2 + 4x}{-(x - 2)(x + 2)} = -\frac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 2)}$

Bây giờ ta cần phân tích tử số x² + 4x:

x² + 4x = x(x + 4)

Vậy ta có:

A = $\frac{x+1}{x-2}$ + $\frac{x-1}{x+2} - \frac{x(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}$

Tiếp theo, để cộng các phân số, ta tìm mẫu số chung cho các phân số. Mẫu số chung của ba phân số này là (x - 2)(x + 2).

Cụ thể, ta nhân các tử số với mẫu số tương ứng như sau:

A = $\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}$

= $\frac{(x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2) - x(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}$

Bây giờ chúng ta sẽ tính tử số:

Tử số = (x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2) - x(x + 4)

= (x² + 3x + 2) + (x² - 3x + 2) - (x² + 4x)

= x² + 3x + 2 + x² - 3x + 2 - x² - 4x

= x² - 2x + 4

Vậy nên biểu thức A có thể viết lại thành:

A = $\frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 2)(x + 2)}$.

b) Để tính giá trị của A khi x = 4, chúng ta thay x = 4 vào biểu thức đã rút gọn:

A = $\frac{4^2 - 2(4) + 4}{(4 - 2)(4 + 2)}$

= $\frac{16 - 8 + 4}{(2)(6)}$

= $\frac{12}{12}$ = 1.

c) Để tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên dương, ta cần xét tử số x² - 2x + 4. Tử số này luôn dương vì nó là một hàm bậc 2 có b = -2 và c = 4 không có nghiệm thực (điều này có thể kiểm tra bằng cách tính discriminant: b² - 4ac = (-2)² - 414 = 4 - 16 = -12 < 0). Vì thế, x² - 2x + 4 > 0 với mọi x.

Vậy A sẽ dương khi mẫu số cũng dương. Mẫu số là (x - 2)(x + 2). Mẫu số dương khi x - 2 > 0 và x + 2 > 0, tương ứng x > 2 và x > -2, dịch chuyển này chỉ cần x > 2 là đủ.

Mặt khác, để A nguyên dương, mẫu số (x - 2)(x + 2) không được bằng 0 và cũng cần A nguyên:

Lập bảng biểu diễn giá trị của $\frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 2)(x + 2)}$, và kiểm soát giá trị nguyên. Các giá trị nguyên có thể kiểm tra bắt đầu từ x = 3 trở đi như x = 3, 4, 5,...

Chúng ta có thể thử với một vài giá trị:

- Khi x = 3: A = $\frac{3^2 - 2(3) + 4}{(3 - 2)(3 + 2)}$ = $\frac{9 - 6 + 4}{(1)(5)}$ = $\frac{7}{5}$ (không nguyên).
- Khi x = 4: A = 1 (đã tính ở trên).
- Khi x = 5: A = $\frac{5^2 - 2(5) + 4}{(5 - 2)(5 + 2)}$ = $\frac{25 - 10 + 4}{(3)(7)}$ = $\frac{19}{21}$ (không nguyên).

Tiếp tục kiểm tra với nhiều giá trị hơn cho tới khi gặp giá trị nguyên dương khác, có thể x = 6 (A=1 do cấu trúc đã được biết):

Xem x = 6: ta có A = $\frac{6^2 - 2*6 + 4}{(6-2)(6+2)} = \frac{36 - 12 + 4}{(4)(8)} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$.

Vì vậy, giá trị nguyên dương duy nhất cho A là x = 4, và không tìm thấy giá trị nguyên dương A khác trong những x kế đó.

Tóm lại, chúng ta chỉ tìm thấy x = 4 là giá trị duy nhất mà A nhận nguyên dương.