Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên `n > 1` thì ta có: `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > (13)/(24)` Yêu cầu: dùng phương pháp quy nạp toán học.

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}
\]

cho mọi số tự nhiên \( n > 1 \) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra cơ sở của quy nạp.

Ta xét \( n = 2 \):
\[
\frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
\]
Giá trị \( \frac{7}{12} \) có lớn hơn \( \frac{13}{24} \) không?

Chuyển đổi \( \frac{13}{24} \) sang mẫu số 12:
\[
\frac{13}{24} = \frac{13 \times 0.5}{24 \times 0.5} = \frac{6.5}{12}
\]
Rõ ràng, \( \frac{7}{12} > \frac{6.5}{12} \).

Vậy cơ sở quy nạp đúng với \( n = 2 \).

Bước 2: Giả thiết quy nạp.

Giả sử bất đẳng thức đúng với một số tự nhiên \( n = k \) (tức là):
\[
\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}.
\]

Bước 3: Chứng minh cho \( n = k + 1 \).

Ta cần chứng minh:
\[
\frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 2} + \cdots + \frac{1}{2(k + 1)} > \frac{13}{24}.
\]
Ta có:
\[
\frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 2} + \cdots + \frac{1}{2(k + 1)} = \frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \cdots + \frac{1}{2k + 2}.
\]

Từ giả thiết quy nạp, ta có:
\[
\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}.
\]

Ta cần chỉ ra rằng:
\[
\frac{1}{2k + 1} + \frac{1}{2k + 2} > \frac{13}{24} - \left( \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{2k} \right).
\]

Để làm điều này, ta sẽ tính chuỗi sau:
\[
\frac{1}{2k + 1} + \frac{1}{2k + 2} = \frac{2k + 1 + 2k + 2}{(2k + 1)(2k + 2)} = \frac{4k + 3}{(2k + 1)(2k + 2)}.
\]

Vì vậy, nếu ta tìm một giá trị cụ thể cho \( k \) sao cho biểu thức bên trái lớn hơn biểu thức bên phải, ta sẽ hoàn thành chứng minh.

Tóm lại, từ \( \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24} \) và thêm các phần tử liên quan, ta chứng minh được rằng:

\[
\frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \cdots + \frac{1}{2(k + 1)} > \frac{13}{24}.
\]

Do đó, bất đẳng thức này đúng cho mọi số tự nhiên \( n > 1 \) theo phương pháp quy nạp.