chứng minh a,b,c là scp

Để chứng minh rằng a, b, c đều là các số chính phương, ta bắt đầu từ điều kiện đã cho và thực hiện một số bước lý luận.

1. Phân tích yêu cầu: Đề bài cho biết rằng \( (a, b, c) = 1 \) có nghĩa là a, b, c không có ước số chung lớn hơn 1. Điều này có thể cho thấy rằng nếu một trong ba số này là số chính phương thì hai số còn lại cũng sẽ phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

2. Sử dụng điều kiện: Chúng ta có phương trình \( a^2 + b^2 + c^2 = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \).

Ta có thể khai triển hai bên của phương trình này. Cụ thể:
- Bên trái: \( a^2 + b^2 + c^2 \).
- Bên phải:
- \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- \( (b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 \)
- \( (c - a)^2 = c^2 - 2ca + a^2 \)

Khi cộng lại, chúng ta sẽ có:
\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)
\]

3. Thiết lập hệ phương trình: Từ hai vế của phương trình ta có:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)
\]
Sắp xếp lại, ta nhận được:
\[
0 = a^2 + b^2 + c^2 - 2(ab + bc + ca)
\]
điều này có thể viết lại thành:
\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0
\]
Điều này chỉ xảy ra khi \( a = b = c \).

4. Kết luận: Vì \( a, b, c \) là các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện \( (a, b, c) = 1 \), nếu chúng bằng nhau và bằng một số nguyên dương thì nó chắc chắn sẽ phải là một số chính phương. Do đó, ta kết luận rằng a, b, c đều là các số chính phương.

Chứng minh hoàn tất.