Bài 1. Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC . Đường thẳng qua B song song với AC cắt AD ở E . a) Chứng minh AC = EB b) Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF = AC . Gọi I là

a) Để chứng minh AC = EB, ta sẽ sử dụng định lý về các cạnh tương ứng trong tam giác đồng dạng.

Ta có D là trung điểm của BC, nghĩa là BD = DC. Vì đường thẳng qua B song song với AC, theo định nghĩa thì các góc được tạo thành có mối quan hệ nhất định. Cụ thể, ta có:

Góc ADB và góc EBD là hai góc so le trong, nên chúng bằng nhau (góc so le trong).

Do đó, tam giác ADB và tam giác EBD có hai góc bằng nhau (góc ADB = góc EBD, và góc ADB = góc ADB).

Vì vậy, theo định lý đồng dạng, ta có:
AB / EB = AD / BD

Mà do D là trung điểm của BC nên BD = DC và theo đó AD = BD. Kết hợp với việc AB = AB, ta dễ dàng nhận thấy AC = EB.

b) Để chứng minh góc FAI và góc IBE bằng nhau, ta sẽ áp dụng tính chất của các góc trong tam giác.

Theo định nghĩa, F nằm trên tia đối của tia AC, do đó:
Góc FAC = 180° - góc ACB.

Ta có đường thẳng EF cắt AB tại I, do đó hai góc IBE và FAI trở thành góc trong của hai tam giác. Đặc biệt, góc FAI và góc IBE được tạo thành bởi các đường thẳng cắt nhau (AD và EF).

Vì đường thẳng EF được vẽ song song với AC, nên góc ACB = góc IBE (do tính chéo). Do đó, FAI cũng phải bằng IBE.

c) Để chứng minh tam giác AIF bằng tam giác BIE, ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn bằng ba cạnh hoặc hai góc và cạnh giữa.

Từ phần b), ta đã chỉ ra rằng góc FAI = góc IBE.

Ngoài ra, FC = BE do đó:
AF = AC (theo giả thiết) => AE = BI (cũng do cách vẽ tam giác đồng dạng vào các đoạn thẳng tương ứng).

Kết hợp lại, ta có:
Góc FAI = góc IBE
AF = BI
và AE = AE.

Từ đây, ta áp dụng định lý tam giác đồng dạng, dẫn đến việc tam giác AIF và BIE bằng nhau.

Tóm lại, các chứng minh liên tiếp và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng đã cho thấy sự tương đồng của các tam giác trong bài toán.