Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC và 2 đường cao AD ,BE cắt nhau tại Ha,cmt tam giác AHE đồng dạng với tam giác BHD và HA.HD=HE.HBb,cmt tam giác ADC đồng dạng với tam giắc BEC. VÀ góc CED=góc ABCc, kéo dài CH cắt AB tại F;EF cắt CB

a) Để chứng minh tam giác AHE đồng dạng với tam giác BHD, ta sẽ sử dụng định lý về tỉ lệ cạnh trong tam giác. Do H là giao điểm của hai đường cao AD và BE, nên góc AHE = góc BHD (cùng bằng 90 độ).

Xét hai tam giác AHE và BHD:
- Góc AHE = góc BHD (góc vuông)
- Góc AHE + góc AEB = góc BHD + góc AEB (góc chung)

Do vậy, theo critère góc-góc (AA), ta có tam giác AHE đồng dạng với tam giác BHD. Từ đó, chúng ta có tỉ lệ:
HA/HE = HB/HD.

Tương tự, từ đẳng thức HA.HD = HE.HB, ta có thể xác nhận prori về tam giác HA.HD = HE.HB, tức tỉ lệ này có thể diễn ra.

b) Chứng minh rằng tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC:
Bởi vì ADD và BEC đều có cùng góc ACB (góc chung) và góc CED = góc ABC (theo giả thiết), từ đó theo tiêu chí AA, tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC.

c) Để chứng minh rằng Ì.IE = IO² - OC², ta cần sử dụng phương pháp hình học và định lý Pythagore. Trong tam giác OBC, O là trung điểm của BC, từ đó OC = OB.

Khi kéo dài CH cắt AB tại F, và EF cắt CB tại I, ta cần xem khoảng cách giữa I và E. Ta có thể xem tam giác OIE và OCE:

- I là điểm nằm trên đường nối giữa E và C.
- IO² = IE² + OC² (theo định lý Pythagore).

Từ đó:
IE = IO² - OC² sẽ được xác nhận bằng cách trích xuất từ định lý Pythagore, lấy khoảng cách từ I đến E tương ứng với IO và OC.

Dựa vào các hình tam giác và các phần đối xứng liên quan, ta có thể đi đến kết luận rằng độ dài IE có liên quan chặt chẽ với phần đoạn trung điểm O và các đoạn thẳng tương ứng.