tính cần gấp giải chi tiết

Để giải bài toán này, ta cần tìm giới hạn sau:

lim (x→4) [(√(x) - 2) / (√(2x + 1) - 3)]

Trước tiên, thế giá trị x = 4 vào trong biểu thức:

√(4) - 2 = 2 - 2 = 0

√(2*4 + 1) - 3 = √(9) - 3 = 3 - 3 = 0

Cả tử và mẫu đều bằng 0, cho thấy rằng chúng ta đang gặp phải dạng không xác định 0/0. Để giải quyết, ta cần sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc biến đổi biểu thức.

1. Áp dụng quy tắc L'Hôpital: Ta tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

- Tử số: y = √(x) - 2
Đạo hàm y' = (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2√(x))

- Mẫu số: z = √(2x + 1) - 3
Đạo hàm z' = (1/2) (2) (2x + 1)^(-1/2) = 1 / √(2x + 1)

2. Viết lại giới hạn sử dụng đạo hàm:

lim (x→4) [(1 / (2√(x))) / (1 / √(2x + 1))] = lim (x→4) [√(2x + 1) / (2√(x))]

3. Thay x = 4 vào giới hạn mới:

Khi x = 4:

√(2*4 + 1) = √(9) = 3

2√(4) = 2 * 2 = 4

Vậy:

lim (x→4) [3 / 4] = 3/4

Do đó, giới hạn cần tìm là:

Kết quả: 3/4