tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x/x^2 + 1 +y/y^2 +1 +z/z^2 +1 với x+y+z=3 và x,y,z không âm

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x/(x² + 1) + y/(y² + 1) + z/(z² + 1) dưới điều kiện x + y + z = 3 và x, y, z không âm, chúng ta có thể sử dụng một vài tính chất của hàm số.

Đầu tiên, chúng ta cần nghiên cứu hàm số f(t) = t/(t² + 1). Hàm số này có thể được phân tích như sau:

1. Tính khả biến: Hàm f(t) là một hàm tăng trên khoảng [0, +∞). Để thấy được điều này, ta tính đạo hàm:
f'(t) = (1 (t² + 1) - t 2t)/(t² + 1)² = (1 - t²)/(t² + 1)².
Hàm số f'(t) lớn hơn 0 khi t < 1 và nhỏ hơn 0 khi t > 1. Vậy hàm f(t) đạt cực đại tại t = 1.

2. Đánh giá giá trị tại các điểm quan tâm: Tại điểm t = 1, f(1) = 1/(1 + 1) = 1/2. Tại t = 0, f(0) = 0. Khi t tiến về vô cực, f(t) tiệm cận 0.

3. Giới hạn tổng: Do x + y + z = 3 và các biến không âm, để hàm f(t) đạt giá trị lớn nhất, chúng ta nên phân chia giá trị 3 cho x, y và z sao cho một trong các giá trị này bằng 1, và hai giá trị còn lại bằng 1 (hoặc 0).

Bây giờ, chúng ta có khả năng tính các trường hợp khác nhau:

- Giả sử x = 1, y = 1, z = 1, thì M = 3 * (1/2) = 3/2.
- Giả sử x = 3, y = 0, z = 0, thì M = 3/(3² + 1) = 3/10.
- Các trường hợp như x = 2, y = 1, z = 0, M = 2/(2² + 1) + 1/(1² + 1) = 2/5 + 1/2 = 4/10 + 5/10 = 9/10.

Có vẻ như giá trị nhỏ nhất xảy ra khi một biến là 3 và hai biến còn lại bằng 0.

Từ đó, ta kết luận rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 3/10, khi x = 3 và y = z = 0.