Cho đường tròn  tâm o bán kính 2cm lấy điểm m sao cho om=4cm từ m kẻ 2 tiếp tuyến ma,mb (a,b là hai tiết điểm ) a) CM om vuông góc ab b) tìm chu vi và diện tích của tam giác mab c)gọi i là giao điểm của đường tròn tâm

a) Để chứng minh om vuông góc ab, ta xét các đoạn thẳng. Vì ma và mb là các tiếp tuyến với đường tròn tại a và b, nên chúng sẽ vuông góc với bán kính oa và ob tại các điểm tiếp xúc. Từ đó, ta có góc oma = 90 độ và góc omb = 90 độ. Bởi vì m nằm ngoài đường tròn và hai tiếp tuyến từ m tới điểm a và b đều vuông góc với bán kính, cho nên tam giác omab là một tam giác vuông tại om, suy ra om vuông góc với ab.

b) Để tìm chu vi và diện tích của tam giác mab, ta cần tính độ dài của các đoạn ma, mb, và ab. Dựa theo định lý Pitago, tam giác omab có độ dài oa = ob = 2cm và om = 4cm. Sử dụng định lý Pitago, ta có:

ma² = om² - oa² = 4² - 2² = 16 - 4 = 12 => ma = mb = √12 = 2√3 cm.

Để tính độ dài ab, ta áp dụng định lý Pitago cho tam giác mab:

ab² = ma² + mb² = (2√3)² + (2√3)² = 12 + 12 = 24 => ab = √24 = 2√6 cm.

Chu vi của tam giác mab là ma + mb + ab = 2√3 + 2√3 + 2√6 = 4√3 + 2√6.

Diện tích tam giác mab = (1/2) ma mb sin(θ), θ là góc giữa hai tiếp tuyến (a, b). Do ma và mb đều là tiếp tuyến và vuông góc với bán kính, sin(θ)=1. Việc tính giúp ta thấy diện tích = (1/2) 2√3 * 2√3 = 6 cm².

c) Tứ giác oatb là hình chữ nhật vì oa và ob đều là bán kính của đường tròn, tại điểm a và b, nên chúng vuông góc với các tiếp tuyến ma và mb. Do đó, góc oan = góc obm = 90 độ. Với tất cả góc vuông và các cạnh đối diện bằng nhau (oa = ob = 2 cm), tứ giác oatb thoả mãn định nghĩa hình chữ nhật.

d) Để chứng minh 4 điểm o, a, m, b cùng thuộc một đường tròn tâm o, ta xét đặc tính của các tiếp tuyến ma và mb. Do ma và mb đều là tiếp tuyến từ m tới đường tròn nên có độ dài như nhau. Đồng thời, oa và ob đều là bán kính từ o tới điểm tiếp xúc a và b, cùng với việc om là đoạn nối từ o đến m. Như vậy, khoảng cách m từ các điểm là đều, chứng tỏ rằng o là tâm của đường tròn đi qua các điểm a, b và điểm m là một điểm nằm ngoài đường tròn.

e) Để tính độ dài cung nhỏ ab, biết rằng chu vi đường tròn là 2πr = 2π 2 = 4π cm. Đoạn ab là dây cung đã tính trước đây là 2√6 cm. Áp dụng công thức độ dài cung, ta có độ dài cung nhỏ ab = (độ dài dây ab / chu vi) 360°.

f) Diện tích hình viên phân tảo bởi dây ab và cung nhỏ ab là diện tích của hình tròn phần lớn trừ đi chu vi của tam giác mab, có thể tính qua các hình.

g) Tiếp tuyến tại i của đường tròn tâm o cắt am, mb tại e, f sẽ sử dụng tính chất tiếp tị. Do vậy, các đoạn e, f là các đoạn vuông góc với các bán kính tại i và sẽ xác định được vị trí trên đường tròn.

h) Để kẻ đường kính bd và cm ad // om, ta xác định thỏa mãn điều kiện về tính song song, và sử dụng hình vẽ để làm rõ vị trí.

i) Tính mh nhân mo = mp nhân mq là dựa vào tính chất của các đoạn thẳng cắt nhau và áp dụng định lý. Sử dụng tỉ lệ và tương đồng giữa các đoạn thẳng có thể chứng minh m le, nên mh mo = mp mq hoàn toàn đúng. Hình ảnh mô tả rõ hơn cho sự liên kết giữa các điểm sẽ hỗ trợ chứng minh hơn cho bài toán.