Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Kẻ đường cao AD (D in BC) gọi E là trung điểm của AB. Trên tia DE lấy điểm F sao cho FE = DEa) (0,75 điểm) Chứng minh tứ giác ADBF là hình chữ nhật.b) (0,75 điểm) Trên tia

a) Để chứng minh tứ giác ADBF là hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh rằng có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song (hoặc hai góc đối diện bằng 90 độ).

- Từ giả thiết, tam giác ABC vuông tại A, ta có AD là đường cao từ A xuống BC, do đó AD vuông góc với BC.
- E là trung điểm của AB, nên AE = EB.
- Bây giờ xem xét điểm F trên tia DE sao cho FE = DE. Từ vị trí của F, ta có DF = DE + EF = DE + DE = 2DE.

Tại điểm A, ta có:
- AD vuông góc với BD (vì AD là đường cao).
- E và B cùng trên đoạn thẳng AB, và AE = EB, do đó AB = AE + EB.

Xét các cặp cạnh:
- AD song song với BF vì cả hai đều vuông góc với đường thẳng BC.
- AB = EF (bởi vì FE = DE) và AE = EB.

Như vậy, tứ giác ADBF có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, do đó ADBF là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh AGDF là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng cặp cạnh đối diện AG và DF bằng nhau và song song.

- Theo giả thiết, ta có DG = DB và AD là đường cao.
- Với sự đồng nhất DG = DB, ta thấy rằng các góc tại D và G có quan hệ đồng dạng với các góc tại A và B.

Xét cặp cạnh AG và DF:
- AG = AD + DG và DF = DE + FE (vì FE = DE) = DE + DE = 2DE.

Bây giờ, do DF song song với AG (cả hai đều có cùng hướng với DB), và tổng chiều dài hai cạnh đối diện AG và DF bằng nhau, ta suy ra AGDF là hình bình hành.

c) Gọi K là trung điểm của AG, ta cần chứng minh DI = 2IK.

- Với K là trung điểm của AG, ta có AK = KG.
- Do AG là hình bình hành, theo định nghĩa, thì AD song song với GF và DF cũng song song với AG.

Điểm I là giao điểm của DI và GF, vì FG song song với DI nên sẽ có tỷ lệ giữa các đoạn:
- Bởi vì K là trung điểm của AG, nên AK = KG = AG/2.

Khi xem xét tỉ lệ giữa DI và IK, ta có DI = 2IK bởi vì điểm K chia đều đoạn AG và tỉ lệ chiều dài được duy trì qua các điểm trung gian.

Vì vậy, ta khẳng định rằng DI = 2IK là đúng theo giả thiết đã cho.