Tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng của một tam giác vuông bằng 10cm. Hỏi tam giác đó có diện tích lớn nhất là bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Để tìm diện tích lớn nhất của tam giác vuông với tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng 10 cm, gọi cạnh góc vuông là a và cạnh huyền là c. Theo đề bài, ta có:

a + c = 10 cm

Trong tam giác vuông, theo định lý Pythagore, ta có:

c^2 = a^2 + b^2, trong đó b là cạnh góc vuông còn lại.

Diện tích của tam giác vuông được tính bằng:

S = (1/2) a b.

Từ mối quan hệ giữa a và c, ta có:

c = 10 - a.

Áp dụng vào định lý Pythagore:

(10 - a)^2 = a^2 + b^2.

Giải phương trình trên:

100 - 20a + a^2 = a^2 + b^2
=> b^2 = 100 - 20a.

Diện tích S có thể viết lại theo a như sau:

S = (1/2) a b = (1/2) a √(100 - 20a).

Để tìm a và b sao cho diện tích S là lớn nhất, ta cần tối ưu hóa hàm S(a).

Đặt hàm S(a) = (1/2) a √(100 - 20a).

Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm S'(a) và đặt S'(a) = 0:

S'(a) = (1/2) √(100 - 20a) + (1/2) a (1/2) (100 - 20a)^(-1/2) * (-20) = 0.

Giải phương trình trên:

√(100 - 20a) - (10a / √(100 - 20a)) = 0
=> 100 - 20a = 10a
=> 100 = 30a
=> a = 10/3 cm.

Khi a = 10/3, ta tính c:

c = 10 - a = 10 - 10/3 = 20/3 cm.

Bây giờ, ta tính b:

b^2 = 100 - 20a = 100 - 20 * (10/3) = 100 - 200/3 = 100/3.
b = √(100/3) = 10/√3 cm.

Cuối cùng, diện tích S tối đa là:

S = (1/2) (10/3) (10/√3) = (100/6√3).

Để làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta tính giá trị này:

S ≈ 9.05 cm^2 (sử dụng giá trị √3 ≈ 1.732).

Do đó, diện tích lớn nhất của tam giác vuông là khoảng 9.05 cm².