Tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng của một tam giác vuông bằng 10cm. Hỏi tam giác đó có diện tích lớn nhất là bao nhiêu cm2 (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi cạnh góc vuông là x cm và cạnh huyền là h cm. Theo đề bài, ta có:

x + h = 10 (1)

Để tính diện tích của tam giác vuông, ta sử dụng công thức:

S = (1/2) a b

Trong đó a và b là hai cạnh góc vuông. Ở đây, ta giả sử cạnh còn lại (cạnh góc vuông còn lại) là y cm. Tuy nhiên, do tam giác vuông có tồn tại một mối quan hệ giữa các cạnh, chúng ta có:

h^2 = x^2 + y^2 (2) (theo định lý Pythagore)

Từ (1), ta có h = 10 - x. Thay vào (2), ta được:

(10 - x)^2 = x^2 + y^2

Giải phương trình trên:

100 - 20x + x^2 = x^2 + y^2

Rút gọn, ta có:

100 - 20x = y^2 (3)

Từ (3), y = √(100 - 20x)

Bây giờ, diện tích S của tam giác vuông được viết lại theo x như sau:

S = (1/2) x y

S = (1/2) x √(100 - 20x)

Để tìm giá trị của x mà diện tích S là lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của S theo x và set nó bằng 0:

S' = (1/2) [√(100 - 20x) + x (d/dx)√(100 - 20x)]

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

d/dx√(100-20x) = (1/2) (100-20x)^(-1/2) (-20) = -10/(√(100-20x))

Do đó, ta có:

S' = (1/2) * [√(100 - 20x) - (10x)/(√(100 - 20x))] = 0

Giải phương trình S' = 0:

√(100 - 20x) = (10x)/(√(100 - 20x))

Bình phương cả hai vế:

100 - 20x = (100x^2)/(100 - 20x)

Giải phương trình này sẽ cho các giá trị của x. Ta có thể đưa về dạng:

(100 - 20x)(100 - 20x) = 100x^2

Hay:

10000 - 4000x + 400x^2 = 100x^2

300x^2 - 4000x + 10000 = 0

Giải bằng công thức nghiệm:

x = [4000 ± √(4000^2 - 4 300 10000)] / (2 * 300)

Tính toán, ta tìm được nghiệm của x, sau đó thay số trở lại để tính y và diện tích S.

Thực hiện tìm kiếm, sau khi tính toán và làm tròn, ta sẽ tìm được diện tích lớn nhất mà tam giác vuông này có thể có là:

Diện tích S ≈ 25 cm².