giúp e với ạ, e cảm ơn trước ạ

Để tìm giới hạn của hàm số f(x) tại điểm x = 2, ta cần xem xét các biểu thức tương ứng với từng miền của hàm.

Hàm f(x) được định nghĩa như sau:

1. f(x) = (x^2 - 2x)/(8 - x^3) khi x > 2
2. f(x) = (x^4 - 16)/(x - 2) khi x < 2
3. f(x) = giá trị tại x = 2 (cần tìm)

Ta sẽ tìm giới hạn khi x tiến tới 2 từ bên phải và bên trái.

Giới hạn khi x tiến tới 2 từ bên phải:
Khi x > 2, ta có biểu thức là (x^2 - 2x)/(8 - x^3). Ta phải tính giới hạn của biểu thức này khi x tiến tới 2.

lim (x -> 2+) f(x) = lim (x -> 2+) \[(x^2 - 2x)/(8 - x^3)\]

Thay x = 2 vào biểu thức:

= (2^2 - 2*2)/(8 - 2^3)
= (4 - 4)/(8 - 8)
= 0/0 (đây là hình thức không xác định).

Để giải quyết hình thức không xác định này, ta sẽ sử dụng quy tắc L'Hôpital.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital: đạo hàm tử số và mẫu số.

Tử số: f'(x) = 2x - 2
Mẫu số: g'(x) = -3x^2

Giới hạn trở thành:

lim (x -> 2+) = lim \[(2x - 2)/(-3x^2)\]

Thay x = 2 vào:

= (22 - 2)/(-32^2)
= (4 - 2)/(-12)
= 2/(-12) = -1/6.

Giới hạn khi x tiến tới 2 từ bên trái:
Khi x < 2, ta có biểu thức là (x^4 - 16)/(x - 2). Ta sẽ tính giới hạn của biểu thức này khi x tiến tới 2.

lim (x -> 2-) f(x) = lim (x -> 2-) \[(x^4 - 16)/(x - 2)\]

Thay x = 2 vào biểu thức:

= (2^4 - 16)/(2 - 2)
= (16 - 16)/(2 - 2)
= 0/0 (cũng là hình thức không xác định).

Ta cũng sử dụng quy tắc L'Hôpital ở đây.

Đạo hàm tử số: f'(x) = 4x^3
Đạo hàm mẫu số: g'(x) = 1

Giới hạn trở thành:

lim (x -> 2-) = lim \[(4x^3)/(1)\]

Thay x = 2 vào:

= 4*2^3
= 4*8 = 32.

Kết luận:
- Giới hạn khi x tiến đến 2 từ bên phải là -1/6.
- Giới hạn khi x tiến đến 2 từ bên trái là 32.

Vì hai giới hạn này không bằng nhau, nên giới hạn của hàm f(x) tại x = 2 không tồn tại.