mn lm ơn cứu em bài này vs ạ. em đg cần gấp ạ. em cảm ơn ạ

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu của câu hỏi một cách chi tiết.

a) Đầu tiên, ta cần tính giá trị của hàm số tại x = 0, tức là f(0). Từ công thức của hàm số:

f(x) = (1/3)x^3 + mx^2 + 4x + 3

Thay x = 0 vào hàm số, ta có:

f(0) = (1/3)(0)^3 + m(0)^2 + 4(0) + 3 = 0 + 0 + 0 + 3 = 3

Vậy f(0) = 3.

b) Bây giờ, ta cần xem xét liệu hàm số f(x) có đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi m = 6 hay không. Để làm điều này, ta cần tính đạo hàm của hàm số:

f'(x) = x^2 + 2mx + 4

Với m = 6, ta có:

f'(x) = x^2 + 12x + 4

Để hàm số đồng biến trên (0; +∞), đạo hàm f'(x) phải lớn hơn hoặc bằng 0 trong toàn bộ khoảng này. Ta sẽ tính discriminant của phương trình bậc 2 là D = b^2 - 4ac với a = 1, b = 12, c = 4:

D = 12^2 - 4 1 4 = 144 - 16 = 128

Vì D > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta sẽ tìm nghiệm bằng công thức:

x = (-b ± √D) / 2a = (-12 ± √128) / 2 = -6 ± 4√2

Có một nghiệm dương và một nghiệm âm. Do đó, hàm số không đồng biến trên (0; +∞) vì tại một khoảng nào đó, f'(x) đổi dấu. Vậy đáp án cho phần này là "không đồng biến".

c) Tiếp theo, ta cần tìm 3 giá trị nguyên của m để hàm số f(x) đồng biến trên R. Để hàm số f(x) đồng biến trên R, f'(x) phải lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Sau khi thực hiện phân tích như ở b), ta có:

x^2 + 2mx + 4 ≥ 0

Để bất phương trình này luôn đúng, nghiệm của phương trình bậc hai f'(x) không được có nghiệm thực. Điều này đòi hỏi discriminant D phải nhỏ hơn hoặc bằng 0:

D = (2m)^2 - 4 1 4 ≤ 0
=> 4m^2 - 16 ≤ 0
=> m^2 - 4 ≤ 0
=> (m - 2)(m + 2) ≤ 0

Từ đây, ta có m thuộc đoạn [-2, 2]. Các giá trị nguyên trong khoảng này là -2, -1, 0, 1, 2, tổng cộng có 5 giá trị nguyên (chứ không phải 3).

d) Cuối cùng, ta sẽ tìm 3 giá trị nguyên âm của m để hàm số f(x) đồng biến trên (0; +∞). Như đã phân tích ở b), để hàm số f'(x) đồng biến, ta phải có discriminant D ≤ 0:

(m - 2)(m + 2) ≤ 0 và có giá trị âm, nghĩa là m thuộc (-∞, -2].

Các giá trị nguyên âm trong khoảng (-∞, -2] là -3, -4, -5,… đếm được vô hạn các giá trị nguyên âm. Cụ thể, ta có thể chọn 3 giá trị nào đó trong số đó như -3, -4, -5.

Tóm lại, các kết quả cho các phần là:
a) f(0) = 3
b) Không đồng biến trên (0; +∞) với m = 6.
c) Có 5 giá trị nguyên m để f(x) đồng biến trên R.
d) Có vô hạn giá trị nguyên âm của m để f(x) đồng biến trên (0; +∞).