mn lm ơn cứu em bài này vs ạ. em đg cần gấp ạ. em cảm ơn ạ

a) Để tính đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 2x + 5) / (x + 1), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

y' = (u/v)' = (u'v - uv') / v^2,

với u = x^2 + 2x + 5 và v = x + 1.

Tính đạo hàm u và v:

- u' = 2x + 2,
- v' = 1.

Thay vào công thức:

y' = [(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 5)(1)] / (x + 1)^2.

Bây giờ, ta tính tử số:

Tử số = (2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 5)
= (2x^2 + 2x + 2x + 2) - (x^2 + 2x + 5)
= 2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 5
= x^2 + 2x - 3.

Vậy đạo hàm là:

y' = (x^2 + 2x - 3) / (x + 1)^2.

b) Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, trước tiên ta cần tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình y' = 0.

Thực hiện:

x^2 + 2x - 3 = 0.

Giải phương trình này bằng cách phân tích hoặc sử dụng công thức:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
= (-2 ± √(4 + 12)) / 2
= (-2 ± 4) / 2
= 1 hoặc -3.

Tại x = 1: y(1) = (1^2 + 2*1 + 5) / (1 + 1) = 4,
Tại x = -3: y(-3) = ((-3)^2 + 2*(-3) + 5)/(-3 + 1) = (-4).

Hai điểm là (1, 4) và (-3, -4).

Ta có thể tính hệ số góc k của đường thẳng nối hai điểm này:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 4) / (-3 - 1) = -8 / -4 = 2.

Phương trình đường thẳng có dạng y - y1 = k(x - x1):

y - 4 = 2(x - 1) => y = 2x + 2.

c) Để vẽ đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = x + 1, ta xét giới hạn của hàm số khi x tiến về vô cực:

lim (x -> ±∞) y = lim (x -> ±∞) (x^2 + 2x + 5) / (x + 1) = lim (x -> ±∞) (x + 2 + 5/x) / (1 + 1/x) = x.

Do đó, đường tiệm cận ngang là y = x + 1.

d) Đồ thị có hàm số có hình về như hình bên phải. Đường tiệm cận đứng x = -1 là do mẫu trong hàm số trở thành 0 tại x = -1, không xác định. Hình vẽ của hàm số sẽ có dạng gần với y = x + 1 khi x lớn hoặc nhỏ, với sự xuất hiện của các cực trị tại x = 1 và x = -3, làm cho đồ thị có dạng lượn sóng qua các điểm này.