Cho S = abc + bca + cab Chứng minh rằng S không phải là số chính phương

Để chứng minh rằng S = abc + bca + cab không phải là số chính phương, ta sẽ phân tích biểu thức S và đưa ra các trường hợp có thể.

Gọi a, b, c là các số nguyên. Ta có:

S = abc + bca + cab = abc(1 + 1 + 1) = 3abc

Ta sẽ chứng minh rằng 3abc không thể là số chính phương.

1. Tính chất của số chính phương: Một số n được gọi là số chính phương nếu tồn tại một số nguyên k sao cho n = k^2. Các số chính phương có đặc điểm là khi phân tích ra thừa số nguyên tố, mọi số nguyên tố có số mũ chẵn.

2. Phân tích trường hợp theo giá trị của abc:
- Nếu abc = 0, thì S = 0, 0 là số chính phương.
- Nếu abc khác 0, ta sẽ xem xét trường hợp abc có giá trị dương và âm.

3. Xét giá trị nguyên tố của S:
- Khi abc là số dương, thì S = 3abc có thể bằng số chính phương hay không tùy thuộc vào giá trị cụ thể của abc.
- Khi abc là số âm, S = 3abc sẽ là số âm và không thể là số chính phương.

4. S phân tích theo số mũ: Khi xét riêng phần 3, chúng ta thấy rằng 3 là một số nguyên tố lẻ và khi nó nhân với một số (abc), số mũ của một số nguyên tố trong phân tích thừa số sẽ phụ thuộc vào giá trị của abc.
- Nếu abc có chứa một số nguyên tố khác lẻ, mũ của nguyên tố này sẽ thêm vào mũ của 3 (mà 3 sẽ có mũ là 1). Điều này có nghĩa là số nguyên tố 3 sẽ có tổng số mũ là lẻ, dẫn đến tổng số mũ của ít nhất một loại nguyên tố sẽ là lẻ.

5. Kết luận: Bởi vì một số chính phương chỉ có thể có các số nguyên tố với số mũ chẵn, và do đó bất kỳ khi nào abc khác không, S = 3abc sẽ không phải là số chính phương do mũ của 3 là lẻ.

Qua đó, ta thấy rằng trong tất cả các trường hợp (trừ trường hợp abc = 0) S sẽ không bao giờ là số chính phương.

Vì vậy, ta đã chứng minh rằng S = abc + bca + cab không phải là số chính phương, trừ trường hợp abc = 0.