Rút gọn biểu thức ạ!!

Để rút gọn biểu thức

\[
\left( 2 + \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) \left( 2 + \frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} \right)
\]

ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

Bước 1: Xác định các phần tử trong biểu thức.

Gọi:

- \( x = \sqrt{a} \)
- \( y = \sqrt{b} \)

Biểu thức sẽ trở thành:

\[
\left( 2 + \frac{ax + by}{x + y} \right) \left( 2 + \frac{ay - bx}{y - x} \right)
\]

Bước 2: Tinh giản từng phần.

- Phần đầu tiên:

\[
2 + \frac{ax + by}{x + y}
\]

Có thể viết lại dưới dạng:

\[
\frac{2(x + y) + ax + by}{x + y} = \frac{(2 + a)x + (2 + b)y}{x + y}
\]

- Phần thứ hai:

\[
2 + \frac{ay - bx}{y - x}
\]

Cũng tương tự, ta có thể viết lại:

\[
\frac{2(y - x) + ay - bx}{y - x} = \frac{(2 + b)y - (2 + a)x}{y - x}
\]

Bước 3: Nhân hai biểu thức đã tinh giản.

Khi nhân hai biểu thức đã được xác định, ta có:

\[
\left(\frac{(2 + a)x + (2 + b)y}{x + y}\right) \left(\frac{(2 + b)y - (2 + a)x}{y - x}\right)
\]

Bước 4: Tinh giản kết quả cuối cùng.

Khi nhân các tử số, ta sẽ có được dạng tổng quát, từ đó ta sẽ áp dụng các quy tắc về phân thức để tiếp tục rút gọn, xét các điều kiện \( a > 0, b > 0 \) và \( a \neq b \), để đảm bảo rằng mẫu không bằng 0.

Cuối cùng, kết quả rút gọn sẽ phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \( a \) và \( b \). Trong trường hợp đặc biệt, nếu \( a \) và \( b \) đều không bằng nhau, các biểu thức trên sẽ đơn giản hơn.

Biểu thức rút gọn cuối cùng vẫn cần phải là một phần chức năng của \( a \) và \( b \), vì vậy không thể đưa ra một kết quả số cụ thể mà chỉ mang tính hình thức.