tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B= x^2 + 5y^2 - 4xy+ 6x - 14y + 15

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x^2 + 5y^2 - 4xy + 6x - 14y + 15, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Sắp xếp lại biểu thức: Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến x và y.

2. Tính đạo hàm: Để tìm điểm tối thiểu, ta sẽ tính đạo hàm riêng theo x và y, sau đó giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

- Đạo hàm riêng theo x: ∂B/∂x = 2x - 4y + 6
- Đạo hàm riêng theo y: ∂B/∂y = 10y - 4x - 14

3. Giải hệ phương trình:
- Từ ∂B/∂x = 0, ta có phương trình (1): 2x - 4y + 6 = 0
- Từ ∂B/∂y = 0, ta có phương trình (2): 10y - 4x - 14 = 0

Giải phương trình (1) theo x:
x = 2y - 3

Thay x vào phương trình (2):
10y - 4(2y - 3) - 14 = 0
10y - 8y + 12 - 14 = 0
2y - 2 = 0
=> y = 1

Thay y = 1 vào phương trình x = 2y - 3:
x = 2(1) - 3 = -1

4. Tính giá trị biểu thức B tại điểm (x, y) = (-1, 1):
B(-1, 1) = (-1)^2 + 5(1)^2 - 4(-1)(1) + 6(-1) - 14(1) + 15
= 1 + 5 + 4 - 6 - 14 + 15
= 5.

5. Kiểm tra xem đây có phải là cực tiểu hay không:
Ta cần tính định thức Hessian để kiểm tra.
Hessian H là ma trận:
H = | ∂²B/∂x² ∂²B/∂x∂y |
| ∂²B/∂y∂x ∂²B/∂y² |

- Tính các đạo hàm bậc hai:
∂²B/∂x² = 2
∂²B/∂y² = 10
∂²B/∂x∂y = -4

Vậy H = | 2 -4 |
| -4 10 |

Tính định thức của H:
det(H) = 210 - (-4)(-4) = 20 - 16 = 4 > 0
Và ∂²B/∂x² = 2 > 0

Do đó, H là ma trận xác định dương, điểm (-1, 1) là điểm cực tiểu.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 5.