Làm giúp câu 14 nhanh với ạ

Để chứng minh rằng tổng \( S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{58} \) không phải là số chính phương, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân và phân tích tính chất của tổng này.

Trước tiên, tổng \( S \) có thể được tính bằng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
S = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 1 \) là số hạng đầu tiên,
- \( q = 3 \) là công bội,
- \( n = 59 \) là số hạng.

Áp dụng vào công thức:

\[
S = 1 \cdot \frac{3^{59} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{59} - 1}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét \( S \) theo dạng:

\[
S = \frac{3^{59} - 1}{2}
\]

Để chứng minh \( S \) không phải là một số chính phương, ta cần kiểm tra xem liệu \( 3^{59} - 1 \) có chia hết cho 4 hay không.

Chúng ta có:

- \( 3^{59} \equiv 3 \mod 4 \) (vì \( 3 \equiv -1 \mod 4 \)),
- Do đó, \( 3^{59} - 1 \equiv 3 - 1 \equiv 2 \mod 4 \).

Vậy:

\[
3^{59} - 1 \text{ không chia hết cho } 4 \implies \frac{3^{59} - 1}{2} \text{ là lẻ.}
\]

Giả sử \( S \) là một số chính phương, tức là \( S = k^2 \) cho một số nguyên \( k \). Thì \( k^2 \) phải có dạng chẵn hoặc lẻ.

Tuy nhiên:

1. Nếu \( k^2 \) lẻ thì \( k \) phải lẻ, nhưng không thể xảy ra vì phần chia \( \frac{3^{59} - 1}{2} \) là một số lẻ.
2. Nếu \( k^2 \) là số chính phương chẵn, tức là \( k \) là số chẵn, thì \( S \) sẽ là số chẵn, điều này mâu thuẫn với phần chia của chúng ta.

Cuối cùng, kết luận là \( S \) không phải là số chính phương.